242抛物线的简单几何性质4人教A版高二数学选修21课件共41张PPT.ppt

2.4.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质范围对称性顶点离心率基本元素y y2 2=-2px=-2px(p>0)(p>0)x x2 2=2py=2py(p>0)(p>0)准线方程准线方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程标准方程标准方程图图图图 形形形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p>0)(p>0)x x2 2=-2py=-2py(p>0)(p>0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二是二次式次式,(2)右边右边是一是一次式次式;决定了决定了焦点的位置焦点的位置.一、温故知新一、温故知新抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程 求过点求过点A（（-3，，2））的抛物线的标准方程的抛物线的标准方程．AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（（-3，，2））代入代入x2 =2py，得，得p= 当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（（-3，，2））代入代入y2 = -2px，，得得p= ∴∴抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。

范围范围1、、由抛物线由抛物线y2 =2px（（p>0））有有所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（（p>0）的几何性质）的几何性质?抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，︱︱y︱︱也也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸对称性对称性2、、关于关于x轴轴对称对称即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p>0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，，顶点顶点3、、 定义：抛物线与定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点y2 = 2px (p>0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p>0)的的顶点（顶点（0，，0））.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同双曲线有两个顶点不同离心率离心率4、、P(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。

抛物线的离心率 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质物线的几何性质三三.归纳：抛物线归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（（p>0））y2 = -2px（（p>0））x2 = 2py（（p>0））x2 = -2py（（p>0））x≥0y∈∈Rx≤0y∈∈Ry≥0x∈∈Ry ≤ 0x∈∈R(0,0)x轴轴y轴轴1特点特点：：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大越大,开口越开阔开口越开阔补充补充（（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。

PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔（（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径焦半径公式焦半径公式：：（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图反映抛物线基本特征的草图四、归纳总结四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、、范围范围：：2、、对称性对称性：：3、、顶点：顶点：4、、离心率：离心率：5、、通径通径：：探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。

抛物镜面抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理设计原理平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据的理论依据　　　因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（２，　　），（２，　　），解解:所以设方程为：所以设方程为：又因为点又因为点M M在在抛物线上抛物线上：：所以：所以：因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：　　例例１１：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（２，　　），求（２，　　），求它的标准方程它的标准方程. .三、典例精析三、典例精析24l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1米后，水面宽多少米后，水面宽多少？？xoA Ay若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（（2,－－2））x2=－－2yB（（1，，y）） y=－－0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=－－3代入得代入得例题例题2ABF例例4、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，，且与抛物线相交于且与抛物线相交于A，，B两点，求线两点，求线段段AB的长。

的长 解法解法1 1 抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0),  解法解法2 2 抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0),  解法解法3 :3 :抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0), |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1xyOABDFL§§2.2.4 4. .2 2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质（（2 2））X一、直线与抛物线位置关系种类一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（一个交点，、相交（一个交点，两个交点）两个交点）与双曲线的与双曲线的情况一样情况一样xyO二、判断方法探讨二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点直线与抛物线相离，无交点例：判断直线例：判断直线 y = x +2与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式xyO2、直线与抛物线相切，交与一点直线与抛物线相切，交与一点例：判断直线例：判断直线 y = x +1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。

相切二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点例：判断直线例：判断直线 y = 6与抛与抛物线物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交点坐标解出交点坐标二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO例：判断直线例：判断直线 y = x -1与与抛物线抛物线 y2 =4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元二次方程，需计元二次方程，需计算判别式算判别式4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点二、判断方法探讨二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式>0=0<0相交相交相切相切相离相离判断直线是否与抛物线的对称轴平行判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行不平行直线与抛物线直线与抛物线相交相交(一个交点一个交点)平行平行三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 计计 算算 判判 别别 式式>0=0<0相交相交相切相切相离相离数形结合数形结合①①①①①①①①①①①①题型三题型三直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 设直线设直线l：：y＝＝kx＋＋1，抛物线，抛物线C：：y2＝＝4x，当，当k为何值时，为何值时，l与与C相切、相交、相离．相切、相交、相离．【【点点评评】】　　直直线线与与抛抛物物线线的的位位置置关关系系有有三三种种，，即即相相交交、、相相切切、、相相离离．．这这三三种种位位置置关关系系可可通通过过代代数数法法借借助助判判别别式式判判断断．．当当直直线线与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴平平行行或或重重合合时时直直线线与与抛抛物物线线也也是是相相交，此时只有一个交点．交，此时只有一个交点．例例1。

已知抛物线已知抛物线C：：y2＝＝4x，设直线与抛物线，设直线与抛物线两交点为两交点为A、、B，且线段，且线段AB中点为中点为M（（2，，1），），求直线求直线l的方程的方程.说明：说明：中点弦问题中点弦问题的解决方法：的解决方法：①①联立直线方程与曲线方程求解联立直线方程与曲线方程求解②②点差法点差法1 1、在抛物线、在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线Ｌ：上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离的距离最短，并求此距离. ..F.F判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式>0=0<0相交相交相切相切相离相离【【课堂小结课堂小结】】。