2013年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)(总5页).docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，理1，5分】已知集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B．（2）【2013年北京，理2，5分】在复平面内，复数对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D【解析】，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D．（3）【2013年北京，理3，5分】“”是“曲线过坐标原点”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，∴，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵过原点，∴，∴，．故必要性不成立，故选A．（4）【2013年北京，理4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】依次执行的循环为，；，；，，故选C．（5）【2013年北京，理5，5分】函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】依题意，向右平移1个单位之后得到的函数应为，于是相当于向左平移1个单位的结果，∴，故选D．（6）【2013年北京，理6，5分】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由离心率为，可知，∴．∴渐近线方程为，故选B．（7）【2013年北京，理7，5分】直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）（A） （B）2 （C） （D）【答案】C【解析】由题意可知，的方程为．如图，点坐标为， ∴所求面积，故选C．（8）【2013年北京，理8，5分】设关于，的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含上的点，只需要可行域的边界点在下方，也就是，即，故选C．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2013年北京，理9，5分】在极坐标系中，点到直线的距离等于 ．【答案】【解析】在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为，直线对应直角坐标系中的方程为，所以点到直线的距离为1．（10）【2013年北京，理10，5分】若等比数列满足，，则公比 ；前项和 ．【答案】2；【解析】由题意知．由，∴．∴．（11）【2013年北京，理11，5分】如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则________；______．【答案】，【解析】设，则．由切割线定理可得，，即，可得．∴，．在中，AB=．（12）【2013年北京，理12，5分】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．【答案】96【解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有 (种)．（13）【2013年北京，理13，5分】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则_______．【答案】4【解析】可设，，为单位向量且，则，．由，∴，解得，∴．（14）【2013年北京，理14，5分】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点段上，点到直线的距离的最小值为________．【答案】【解析】过点作垂直底面，交于点，连接，过点作垂直于底面 ，交于点，点到直线CC1的距离就是，故当垂直于时，点到直线距离最小，此时，在中，，，∴． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2013年北京，理15，13分】在中，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，，所以在中，由正弦定理得．所以．故． （2）由（1）知，cos A=，所以．又因为，所以．．在中， ．．（16）【2013年北京，理16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设表示事件“此人于3月日到达该市”．根据题意，，且．（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．．（2）由题意可知，所有可能取值为0,1,2，且；；．所以X的分布列为：X012P故X的期望．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．（17）【2013年北京，理17，14分】如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，．（1）求证：平面；（2）求证二面角的余弦值．（3）证明：段上存在点，使得，并求的值．解：（1）因为为正方形，所以．因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面．（2）由（1）知，．由题知，，，所以．如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，．设平面的法向量为，则，即．令，则，，所以．同理可得，平面的法向量为．所以cos〈n，m〉=．由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）设是直线上一点，且，所以．解得，，．所以．由，即，解得．因为，所以段上存在点，使得．此时，．（18）【2013年北京，理18，13分】设为曲线在点处的切线．（1）求的方程；（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方．解：（1）设，则．所以．所以的方程为．（2）令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于．满足，且．当时，，，所以，故单调递减；当时，，，所以，故单调递增．所以，．所以除切点之外，曲线在直线的下方．（19）【2013年北京，理19，14分】已知是椭圆上的三个点，是坐标原点．（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．解：（1）椭圆右顶点B的坐标为．因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分．所以可设，代入椭圆方程得，即．所以菱形的面积是．（2）假设四边形为菱形．因为点不是的顶点，且直线不过原点，所以可设的方程为．由，消并整理得．设，，则，．所以的中点为．因为为和的交点，所以直线的斜率为．因为，所以与不垂直．所以不是菱形，与假设矛盾．所以当点不是的顶点时，四边形不可能是菱形．（20）【2013年北京，理20，13分】已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．（1）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值；（2）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；（3）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：（1），．（2）（充分性）因为是公差为的等差数列，且，所以．因此，，．（必要性）因为，所以．又因为，，所以．于是，，，因此，即是公差为的等差数列．（3）因为，，所以，．故对任意，．假设中存在大于2的项．设为满足的最小正整数，则，并且对任意，．又因为，所以，且．于是，，．故，与矛盾．所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为1或2．因为对任意，，所以．故．因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为1．。