线性代数期末考试复习考点—同济大学(第六版).ppt

Company Logo主讲教师: 张恩路 线性代数Linear Algebra 第一章第一章 行列式行列式 1. 牢记行列式的牢记行列式的6条性质；条性质； 2. 会利用行列式的性质计算行列式的值；会利用行列式的性质计算行列式的值；3. 掌握余子式和代数余子式的定义及按行〔列〕掌握余子式和代数余子式的定义及按行〔列〕展开定理；展开定理；4. 会利用按行〔列〕展开定理计算行列式的值；会利用按行〔列〕展开定理计算行列式的值； n 阶行列式的性质 性质性质1: 1: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, , 即即DT = D.DT = D. 性质性质2: 2: 互换行列式的两行互换行列式的两行( (列列), ), 行列式变号行列式变号. . 推论推论: : 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )完全相同完全相同, , 那么此行列式为零那么此行列式为零. . 性质性质3: 3: 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以同一数中所有的元素都乘以同一数k, k, 等于用数等于用数k k乘此行列乘此行列式式. . 推论推论: : 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. . 性质性质4: 4: 行列式中如果有两行行列式中如果有两行( (列列) )元素成比例元素成比例, , 那么此行列式为零．那么此行列式为零． 性质性质5: 5: 假设行列式的某一列假设行列式的某一列( (行行) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和, , 那么该行列式等于两个那么该行列式等于两个行列式之和行列式之和. . 性质性质6: 6: 把行列式的某一列把行列式的某一列( (行行) )的各元素乘以同一数然后加到另一列的各元素乘以同一数然后加到另一列( (行行) )对应的对应的元素上去元素上去, , 行列式不变行列式不变. .定理定理3 行列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积行列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即之和，即推论推论 行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 1. 掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算；及矩阵与矩阵的运算； 3. 会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；4. 会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。

会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵 2. 掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及掌握矩阵的转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质；逆矩阵的性质；转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质方阵的行列式方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的行列式的行列式，记作，记作| |A| |或或detA. .运算性质运算性质 如果如果 n 阶方阵阶方阵A、、B可逆，那么可逆，那么 、、 、、 与与AB 也可逆，且也可逆，且逆矩阵的性质逆矩阵的性质分块对角矩阵的性质| A | = | A1 | | A2 | … | As | 假设| As | ≠0，那么 | A | ≠0，并且 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 1. 掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；简形矩阵；5. 掌握矩阵秩的一些最根本的性质；7. 会讨论会讨论线性方程组线性方程组系数矩阵的待定系数来判定系数矩阵的待定系数来判定线性方程组是否有解情况。

线性方程组是否有解情况 2. 会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵；行最简形矩阵； 3. 会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程；会用初等行变换求逆矩阵及矩阵方程； 4. 会用初等行变换求矩阵的秩；会用初等行变换求矩阵的秩；6. 掌握线性方程组有解的判定条件；掌握线性方程组有解的判定条件；定义：以下三种变换称为矩阵的初等行变换定义：以下三种变换称为矩阵的初等行变换 ：：ü对调两行，记作对调两行，记作 ；；ü以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ；； ü某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 . .行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素非零元素.行最简形矩阵：行最简形矩阵：行阶梯型矩阵假设满足：行阶梯型矩阵假设满足：1. 非零行的首个非零元为非零行的首个非零元为1;2. 这些非零元所在的列的其它元素都为这些非零元所在的列的其它元素都为零零.〔一〕初等变换与矩阵乘法的关系〔一〕初等变换与矩阵乘法的关系定理定理1 设设A, B是一个是一个 m×n 矩阵，那么矩阵，那么 (1) 的充要条件是存在的充要条件是存在 可逆矩阵可逆矩阵P ，使得，使得P A=B；； (2) 的充要条件是存在的充要条件是存在 可逆矩阵可逆矩阵Q ，使得，使得 A Q =B；； (3) 的充要条件是存在的充要条件是存在 可逆矩阵可逆矩阵P 和和Q ，使得，使得P A Q =B；； 推论推论1 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 . .推论推论2 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 . .推论推论3 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 . .初等行变换初等行变换〔二〕初等变换法求逆矩阵〔二〕初等变换法求逆矩阵〔三〕初等变换的其他应用〔三〕初等变换的其他应用初等行变换初等行变换矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质①①假设假设 A 为为 m×n 矩阵，那么矩阵，那么 0≤R(A)≤min(m, n) ．．②② R(AT) = R(A) ．．③③假设假设 A ~ B，那么，那么 R(A) = R(B) ．．④④假设假设 P、、Q 可逆，那么可逆，那么 R(PAQ) = R(A) ．．⑤⑤ max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋＋R(B) ．．⑥⑥特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有⑦⑦R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋＋1 ．．⑧⑧ R(A＋＋B)≤R(A)＋＋R(B) ．．⑨⑨ R(AB)≤min{R(A), R(B)} ．．⑩⑩假设假设 Am×n Bn×l = O，那么，那么 R(A)＋＋R(B)≤n ．． 定理定理1 n 元线性方程组元线性方程组 AX = b ① ①无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)；； ② ②有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；； ③ ③有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ．． 定理定理3 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX = 0 ① ①只只有零解的充分必要条件是有零解的充分必要条件是R(A) = n ；； ② ②有有非零解的充分必要条件是非零解的充分必要条件是 R(A) < n ．． 定理定理2 线性方程组线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．．无解无解否否是是无限多个解无限多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A) 个自由变量个自由变量的通解的通解写出增广矩阵写出增广矩阵B=〔Ａ〔Ａ,ｂ〕ｂ〕行最简形矩阵行最简形矩阵求解线性方程组的步骤求解线性方程组的步骤 其中其中n 为线性方程组未知数的个数为线性方程组未知数的个数齐次线性方程组齐次线性方程组无穷多个解无穷多个解否否是是唯一解唯一解包含包含 n-R(A) 个自由变量个自由变量的通解的通解 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1. 掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性相关性；相关性； 2. 会求向量组的秩及向量组的最大无关组；会求向量组的秩及向量组的最大无关组； 3. 掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方程组的解；判定方程组的解；4. 会求齐次线性方程组的根底解系；5. 会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；；6. 会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩阵求解相关问题。

阵求解相关问题向量组的线性组合向量组的线性组合 定义定义2：给定向量组：给定向量组 A：：a1, a2, …, am ，， 对于任对于任何一组实何一组实数数 k1, k2, …, km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + … + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个线性组合．的一个线性组合．k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．称为这个线性组合的系数． 给定向量组给定向量组 A：：a1, a2, …, am 和向量和向量 b，如果存，如果存在在一组实数一组实数 l1, l2, …, lm ，使得，使得b = l1a1 + l2a2 + … + lmam那么向量那么向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称向量的线性组合，这时称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示．线性表示．向量组线性相关性的判定〔重点、难点〕向量组线性相关性的判定〔重点、难点〕向量组向量组 A：：a1, a2, …, am 线性相关线性相关存在不全为零的实数存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + … + kmam =0〔零向量〕〔零向量〕 ．．m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．有非零解．矩阵矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m ．．向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m－－1 个向量线性个向量线性表示．表示．线性相关性的判定线性相关性的判定 向量组线性无关性的判定〔重点、难点〕向量组线性无关性的判定〔重点、难点〕向量组向量组 A：：a1, a2, …, am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0〔零向量〕，那么必有〔零向量〕，那么必有k1 = k2 = … = km =0 ．．m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解．只有零解．矩阵矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m ．．向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m－－1 个向量线个向量线性表示．性表示．相关结论相关结论 (1)假设向量组假设向量组 A ：：a1, a2, …, am 线性相关，线性相关， 那么向量组那么向量组 B ：：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．〔局部相关，整体相关〕也线性相关．〔局部相关，整体相关〕其逆否命题也成立，即假设向量组其逆否命题也成立，即假设向量组 B 线性无关，那么向量组线性无关，那么向量组 A 也线性无关也线性无关．． ．〔整体无关，局部无关〕．〔整体无关，局部无关〕最大无关组的求法最大无关组的求法 : 将向量组将向量组 a1, a2, …, am 通过初等行变换化成行阶梯形，通过初等行变换化成行阶梯形，找到矩阵找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式Dr 那么那么Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的的列向量组的一个最大无关组，列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行向量组的行向量组的一个最大无关组．的一个最大无关组．注注 1. 最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列. 2. 向量组的最大无关组一般是不唯一的．向量组的最大无关组一般是不唯一的． 3. 向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组 A0是等价的．是等价的．齐次线性方程组的解的性质性质1：假设 x = x1， x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 那么 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解．性质2：假设 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 那么 x = kx 还是 Ax = 0 的解．结论：假设 x = x1, x = x2, ...,, x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 那么 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.性质3：假设 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，那么 x = h1 − h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 〔导出组〕的解．性质4：假设 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是导出组 Ax = 0 的解，那么 x = x + h 还是 Ax = b 的解．例如：假设 x = h1， x = h2 是 Ax = b 的解，那么：〔1〕h1 —h2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解；〔2〕〔h1 +h2〕/2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解.非齐次线性方程组的解的性质根底解系的概念 定义2 齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量x1, x2, ..., xr如果满足① x1，x2，...，xr 线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ..., xr 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个根底解系．注：注： 齐次线性方程组的根底解系不唯一齐次线性方程组的根底解系不唯一.p齐次线性方程组的解集的最大无关组为根底解系．齐次线性方程组的解集的最大无关组为根底解系．定理定理7：设：设 m×n 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，那么，那么 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n − r ．． n n 元齐次线性方程组的解集为元齐次线性方程组的解集为 S1 = { x | Ax = 0 }. S1 = { x | Ax = 0 }.那么齐次线性方程组那么齐次线性方程组Ax = 0Ax = 0的根底解系是的根底解系是 S1 S1 的一个基，的一个基， 故故 S1 S1 的维数等于的维数等于 n n－－R(A) R(A) ．． 定义定义3 如果在向量空间如果在向量空间 V 中取定一个基中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ，，那么那么V中任意一个向量中任意一个向量 x 可唯一表示为可唯一表示为x = l l1a1 + l l2a2 + …+ l lrar数组数组 l l1, l l2, ..., l lr 称为向量称为向量 x 在基在基 a1 , a2 , ..., ar 中的中的坐标坐标．． 例例3 的列向量组是的列向量组是 R3 的一个基，的一个基，那么那么b 在基在基 e1, e2, e3 中的坐标中的坐标 基变换公式与坐标变换公式，过度矩阵 在在 R3中取定一个基中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基，再取一个新基 b1, b2, b3，， 设设 A = (a1, a2, a3)，，B = (b1, b2, b3) ．． ①① 求用求用a1, a2, a3 表示表示 b1, b2, b3 的表示式的表示式 (基变换公式基变换公式)；； ②② 求向量在两个基中的坐标之间的关系式求向量在两个基中的坐标之间的关系式 (坐标变换公式坐标变换公式). . 解解：： (1) 根据向量组根据向量组 B 能由向量组能由向量组A 线性表示的充要条件，线性表示的充要条件，只需求解矩阵方程只需求解矩阵方程 AX = B 即可即可. 解得解得 X = A-1B , 即即 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3)P其中其中P= A-1B，，称为基称为基 A到到B 的的过渡矩阵过渡矩阵( transition matrix ).〔〔2〕设〕设 x∈∈R3，且，且 故故 是从旧坐标到新坐标的是从旧坐标到新坐标的坐标转换公式坐标转换公式. 及及 例如：例如： R3的两组基为的两组基为 （（1）求基）求基 到基到基 的过度矩阵的过度矩阵P；； （（2）向量）向量 x 在在基基 中的坐标为中的坐标为x 在基在基 中的坐标中的坐标.  第五章第五章 相似矩阵相似矩阵 1. 掌握向量特征值的概念和性质；掌握向量特征值的概念和性质； 3. 掌握两个矩阵相似的概念和性质；掌握两个矩阵相似的概念和性质； 4. 会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值 的性质计算相关问题的性质计算相关问题.2. 会求向量的特征值和特征向量；会求向量的特征值和特征向量；一、根本概念定义1：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0〔零向量〕 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0特征值和特征向量的性质n在复数范围内在复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有n 个特征值〔重根按重数计算〕．个特征值〔重根按重数计算〕．n设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 l1, l2, …, ln，那么，那么nl1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann nl1 l2 … ln = |A|n假设假设 l 是是 A 的一个特征值，那么齐次线性方程组的根底解系的一个特征值，那么齐次线性方程组的根底解系n就是对应于特征值为就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．的全体特征向量的最大无关组．n假设假设 l 是是 A 的一个特征值，那么的一个特征值，那么 j (l) = a0 + a1 l + … + am l mn是矩阵多项式是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．的特征值．特征值和特征向量的求法1〕解特征方程〕解特征方程 | A−lE | = 0，求得特征值，求得特征值l .2〕解方程组〔〕解方程组〔A−lE 〕〕x = 0 ，其通解即为对应于，其通解即为对应于l 的特征向量的特征向量.特特征征方方程程特特征征多多项项式式n特征方程特征方程 | A−l lE | = 0n特征多项式特征多项式| A−l lE |相似矩阵的概念定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，假设有可逆矩阵 P 满足P −1AP = B ，那么称 B 为矩阵 A 的相似矩阵〔similar matrix〕，或称矩阵A 和 B 相似 . 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换. 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．相似矩阵的性质相似矩阵的性质定理定理3：假设：假设 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B 相似，那么相似，那么 A 和和 B 的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而 A 和和 B 的特征值也相同．的特征值也相同．。