第六章-自由电子论和电子的运输性质课件.ppt

1,第六章 自由电子论和电子的 输运性质,经典理论：上世纪初特鲁德在理想气体理论基础上发展起来的 假设：金属中存在着自由电子，与理想气体分子一样，服从经典的玻尔滋曼统计 成功之处：很好说明了金属导电、导热等现象； 遇到一些根本性矛盾：（1）金属中自由电子对热容量贡献小2）电子具有很长“自由程”,两套自由电子论：经典理论和量子理论2,量子力学和费米统计规律确立后，关于电子热容量的矛盾才得到解决，在费米统计的基础上重新建立起现代的金属电子理论（索末菲） 费米统计和能带论基础上，逐步发展了关于输运过程的量子理论为处理电子运动以及电子自由程问题提供了新的基础 本章首先利用费米统计理论对价电子对金属热容量贡献小的原因作解释 利用费米统计和能带理论从理论上解释纯金属电阻率的实验规律3,本 章 主 要 内 容,6.1 电子气的费米能和热容量 6.2 接触电势差 热电子发射 6.3 玻尔兹曼方程 6.4 驰预时间的统计理论 6.5 电子与声子的相互作用 6.6 金属的电导率 6.7 纯金属电阻率的统计模型 6.8 弱磁场下玻尔兹曼方程的解 6.9 金属的热导率,4,6.1 电子气的费米能和热容量,一 、费米能量,金属中价电子的运动决定了金属的输运特性。

能带理论是一种单电子近似，每个电子运动视为独立的，具有一系列确定本征态 系统的宏观态可由电子在这些本征态间的统计分布来描述1、电子的费米分布函数,（1）单电子近似到宏观态,5,温度T时，E 能级上分布的电子数目（费米狄拉克统计）：,EF:费米能，化学势,简并度,电子的费米分布函数：温度T时，能级E的一个量子态上平均分布的电子数为n/g能量为E的每个量子态被电子占据的平均几率,（2）费米分布函数,6,（1）T 0时，费米能级EF上，有一半量子态有电 子 = 一个量子态被电子占据的几率为 = 一量子态被电子填充和不被填充的几率相等 （2）分布函数变化区域主要在EFkBT EF+kBT讨论:,7,2、自由电子模型的费米能量,此能量区间的自由电子数目,（1） E E+dE能量范围内电子数目,8,（2）T = 0K时的费米能,电子浓度n = N/Vc得到,,（费米半径）,金属中自由电子总数,9,（1）kF0是0K时电子的最大波矢 （2）费米半径和0K的费米能只是电子浓度函数 n 1028/m3：kF0 67109/m，EF0 几eV即使是0K，由于电子遵从泡利不相容原理，不可能所有电子都处在最低能级E0上。

4）绝对零度时电子的平均动能不等于0上式是电子服从费米分布的必然结果,讨论：,10,T0 K时的费米能,若不存在电子发射，价电子总数不变,T<

3）一般温度下，晶格热容量比电子热容量大得多4）低温范围晶格热容量按T3迅速下降，而电子按T下降，在液氦温度范围两者的大小就可以相比20,21,常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从晶格振动获取能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外空状态上； 能够发生能态跃迁的仅是费米面附近少数电子，绝大多数电子能量不随温度变化这导致电子平均能量的温度变化率很小，即在常温下电子热容量很小的原因3、价电子对热容量贡献小的原因,22,低温下，晶格振动的热容量与T3成正比,4、低温下CV/TT2关系,温度很低时，晶格热容迅速减小，电子的热容达到不可忽略的程度，金属的热容量应计及价电子与晶格振动两部分贡献：,（对应摩尔热容量）,23,24,由实验可将低温下晶格和电子对热容的贡献分离开来实验作出CV/TT2的关系曲线,,25,低温下CV/TT2关系曲线,斜率为b,截距为,26,6.2 接触电势差 热电子发射,一、接触电势差,接触电势差：不同金属接触后产生电势差 用途：制作热电偶测量温度1、概念,27,价电子能量,费米能,价电子总数,（2）金属带电：除动能外，还有静电势能假定金属的电势为V价电子的总能量,（1）金属不带电：对自由电子模型，忽略绝对零度与常温下费米能的差异，价电子总能量,,2、价电子的总能量,28,3、金属接触电势差图示,29,4、金属接触前后的物理量,30,5、金属接触价电子系统的总能量,31,材料一定，两金属电势差是常数。

由平衡时价电子系统能量取极小值的条件dU/dN1=0,6、两金属电势差是常数的含义,32,V10和V2<0意味着金属1失去电子带正电，金属2得到电子带负电 接触平衡后，金属1中电子浓度大于金属2 未接触时，两金属电子浓度差还要大原来电子浓度不同，接触平衡后电子浓度仍然不等V1 0，V2 < 0,讨论：,33,如不产生电势差，两金属接触后，扩散将会继续到两金属中电子浓度相等 扩散使两金属产生电势差，对扩散起抵抗作用2、接触电势差的作用,34,平衡时，电势差达最大值从统计角度看，原来电子浓度高的将不再失去电子，电子浓度维持在高于另一金属的水平上 金属接触平衡后，失去（或得到）电子的数目与原价电子数目相比，只是一个小数（接触电势差通常很小）原来电子浓度高的仍然高，原来低的仍然低35,两金属接触电势差由其价电子费米能决定接触平衡，价电子由费米能高金属流向费米能低的，费米能差大，接触电势差就大两金属接触平衡后，费米面上电子的能量相等,3、接触电势差的确定,36,价电子能级分布,两金属接触平衡后价电子能级分布,37,二、热电子发射,无外加电场、温度不够高时，金属中的价电子在正离子的吸引下不能逃离金属。

1、势阱模型,势阱深度,费米能,费米面上电子逃离金属至少从外界获得的能量,脱出功（功函数）,38,1)金属加热到足够高温度，费米面附近电子从振动剧烈的晶格获得足够多能量，可逃离金属； 2)如果持续加热，逃离的电子可形成有实际应用价值的电子流（热电子发射电流）； 3)温度一定时，脱出功越小，电子逃离金属越容易，热电子电流就越大； 4)温度越高，电子从晶格获得的能量越多，热电子电流也就越大2、热电子发射电流与温度和脱出功的定性关系,39,视价电子为自由电子，电子的能量E、动量p与速度v和波矢k的关系,3、热电子电流密度与温度T和脱出功的定量关系,（1）物理量的关系,40,速度空间dv区间内的电子数目,,晶体体积为单位体积时，速度空间dv=dvxdvydvz内量子态数目,（2）电子数目的速度分布,41,（3）电子数目的速度分布的化简,42,设金属表面垂直于z轴，mvz2/2E0电子沿z轴脱离金属速度分量vx 、vy可取任意值 vz dvz +dvz区间内的电子数目,（4）热电子发射电流密度,,43,对EE0电子，在dt时间内，只有表面附近vz dt体积内的电子才能逃离金属，逃出的电子数目（单位面积）,携带的电荷,形成的电流密度,44,Richarson-dushman公式,温度越高，脱出功越小，发射电流越大,总的热电子发射电流密度,45,6.3 玻尔兹曼方程,一、平衡状态和非平衡状态电子的分布函数,平衡状态（比热问题）：电子分布函数只是能量E函数（费米狄拉克分布）,导电状态：在宏观电场作用下，电子分布不再是平衡状态下的费米狄拉克分布。

但对导电有贡献的仍是费米面附近的电子46,有外电场时，电子波矢的时间变化率,所有价电子的波矢变化率，即在波矢空间的漂移速度都相同没有电场时分布是一个费米球，有了电场后，费米球将沿电场相反的方向发生刚性漂移1、金属中两种漂移,（1）外电场,二、有外场时电子分布函数的特点和满足的条件,在外电场中费米球的平移,47,（2）温度 金属中各处温度不同时，电子会由高温向低温区域扩散 温度梯度均匀，电子将以恒定速度在金属中扩散48,2、碰撞作用,阻滞上述两种漂移，使电子不能无休止地漂移下去，帮助电子实现一个稳定分布杂质、缺陷、晶格振动引起的电子散射都称为电子遭到了碰撞49,电子分布函数：波矢k，空间坐标r及时间t的函数f(k, r, t)分布函数随时间变化率,漂移作用引起的变化率,碰撞作用引起的变化率,稳定状态电子系统：（1）df/dt=0； （2）f不显含t，对t求偏导数为零,3、分布函数满足的条件,（1）分布函数的时间变化率,50,（2）漂移项,理想流体在水平放置的玻璃管中无摩擦的稳定流动流速为v，压强为P,tdt, x = xA = xBvdt,t, x = xB,51,52,（3）碰撞项,设a0，b0，并记作,53,单位时间因碰撞由 k态变成k态的电子数正比于： 同种自旋k电子数目：f(k, r)/(2)3； k态未被占据的份额：1 f(k, r)； 电子由k向k跃迁的几率：(k, k)。

单位时间因碰撞进入和离开k态的电子数：,进入,离开,54,（4）玻尔兹曼输运方程,玻尔兹曼输运方程（微分积分方程）,55,4、玻尔兹曼输运方程的求解（弛豫时间近似法）,假设在漂移和碰撞的共同作用下，电子分布函数由原来的平衡态f0变到稳定态f 令t = t时撤去外场，漂移作用消失，只有碰撞作用电子分布函数将依靠碰撞作用，最终恢复到平衡态f0 ：偏差(f -f0)由t =t时的(f -f0) ，最终变为零56,偏差按自然规律应以指数形式作衰减,对时间求微商,撤去外场作用后分布函数的变化,弛豫时间,57,金属中温度有差异，电子将由高温区向低温区扩散，电子浓度n不是常数,,5、温度有差异、电磁场作用下玻尔兹曼输运方程,58,6.4 弛豫时间的统计理论,上节引入的弛豫时间具有复杂的性质，弛豫时间方法的根据如何以及本身的大小由什么决定，都不很明显在此情况下，考虑一个可以具体导出驰豫时间的特例很有意义 晶格完全各向同性，电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况正是这样一个特例59,各向同性，弹性散射的优点： （1）能带情况各向同性：E(k)与k的方向无关，只是k的函数 （2）散射是弹性的，k只跃迁到相同能量的k状态，可以表示如下： 如E(k) E(k)，则(k,k)=0 （3）由于散射是由晶体引起的，各向同性意味着(k,k)不依赖于k和k各自在晶体中的方向，最多只依赖它们之间的夹角。

60,对k以外的其它波矢状态求和,f=f0，电子两能态间的跃迁达到平衡 (k, k) = (k, k),无外场、无温度梯度的热平衡状态,1、弹性散射弛豫时间的通式,61,有外场及温度梯度，外场力及温差作用力与原子内部电场力相比小得多，f偏离平衡态f0不大： (k, k) (k, k),62,2、恒定温度、只施加外电场情况的弛豫时间,玻尔兹曼方程为,63,,64,取极轴与k重合将矢量(k-k)分成两个分量： 平行于k的分量为k(1-cos)； 垂直k的分量(k-k)65,(k, k)=(k, k, )不变，(k-k)以极轴为对称轴保持角不变，环绕极轴对(k, k)(k-k)求和为0； 再从0到对(k, k)(k-k)求和，必然为。