03第三节偏导数.docx

分布图示第三节偏导数★偏导数的定义★例2★有关偏导数的几点说明★偏导数的几何意义★例6★高阶偏导数★例7★例10★混合偏导数相等的条件★内容小结★习题6-3★例1★例3★例4★例5★偏导数的经济意义★例8★例9★例11★例12★课堂练习内容提要：一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数z=f(x,y)在点(Xo,y°)的某一邻域内有定义，当y固定在y°而x在X处有增量x时，相应地函数有增量f(xoX,y°)—f(xo,yo),如果limf(xox,yo)一f(xo,yo)存在，则称此极限为函数Z二f(x,y)在点(x0,y0)处0二x对x的偏导数，记为czcfZxXN或exX0)dxx»ogogogofx(x°,y°).例如，有fx(x°,y°)f(x°=x,y°)-f(x°,y°)Axf(x0,y°y)-f(x°,y°)类似地，函数z二f(x,y)在点(x°,y°)处对y的偏导数为记为cz®xny=y°cyx=xqy=yZyxy=y°fy(Xo,yo).上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商•但偏导dx数的记号史是一个整体.dx(1) 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求(2) 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续•但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续xy2,(x,y)=(0,0)例如，二元函数2(X,y)=(0,0)f(x,y)=x+y0,在点(0,0)的偏导数为fx(0,0)fy(0,0)0二iim0,—0.)x二iim—0.U0_yf(0+Ax,0)-f(0,0)=iim>-0=limf(0,0：y)-f(0,0).y-0但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为z=f(x,y)，M°(x°,y。

f(x))是该曲面上一点，过点M作平面y=y°，截此曲面得一条曲线，其方程为f(x,y°)j=yc则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点Mo处的切线M0Tx对x轴正向的斜率(图6-3-1).同理，偏导数fy(x°,y°)就是曲面被平面x=x°所截得的曲线在点M°处的切线M°Ty对y轴正向的斜率•四、偏导数的经济意义设某产品的需求量Q=Q(p,y),其中p为该产品的价格,y为消费者收入•记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为：pQ=Q(p•：p,y)-Q(p,y),和：yQ=Q(p,yy)—Q(p,y).易见,—表示Q对价格p由p变到p:Qlim:pp「0二p表示当价格为p、消费者收入为y时，Q对于p的变化率•称也pQ/QcQpEp“pm0:p/p；:pQ为需求Q对价格p的偏弹性.同理，二凶表示Q对收入y由y变到、迪的平均变化率•而■QryQlim—.:yy—0.：y表示当价格p、消费者收入为y时,Q对于y的变化率•称yQ/QgyEy=limy®.：y/y鋼Q为需求Q对收入y的偏弹性•五、高阶偏导数设函数z二f(x,y)在区域D内具有偏导数'fx(x,y),fy(x，y),.■x:y则在D内fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函数•如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数•按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数:£xI&丿-2:z2二fxx(x,y),x.z-¥=fyx(x,y),'Jcycx.zFz'厂fyy(x,y),其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数类似地，可以定义三阶、四阶、…以及n阶偏导数•我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定理1如果函数f(x,y)的两个二阶混合偏导数；：2z-2二及在区域D内连续，则在该区域内有.:y.x：：x-y例题选讲：偏导数的定义及其计算法例1(E01)求z=f(x,y)=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数解把y看作常数,对x求导得到fx(x,y)=2x3y,把x看作常数，对y求导得到fy(x,y)=3x2y,故所求偏导数fx(1,2)=2132=8,fy(1,2)=3122=7.例2(E02)求z=xy的偏导数.解空二yxy」，豆二xylnx.&dy例3求三元函数u二sin(x•y2-ez)的偏导数.解把y和x看作常数，对x求导得—=cos(xy2_ez);x把x和z看作常数，对y求导得—=2ycos(xy2—ez);cy把x和y看作常数，对z求导得「Uz2z、ecos(xy-e).例4(E03)求r=x2y2z2的偏导数.解把y和z看作常数,对x求导得工=x_Xxx2y2z2r.:r.:r(x,y)=(0,0)的偏导数fx(o,o),fy(0,0)存在，但(x,y)=(0,0)xy例5函数f(x,y)二x2y2I0,f(x,y)在(0,0)点不连续.证fx(0,0)=iimf(0“-“0)=lim口"，^0ix心xf(0,0+创)一f(0,0)0—0fy(0,0)=limlim0.匚y「0.:y.yr0.:y即偏导数fx(0,0),fy(0,0)存在.但由上节的例8知道，极限lim2xy2不存在，故f(x,y)在申+y(0,0)点不连续.例6(E04)某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数040.6p(x,y)=240xy，其中p是由x个人力单位和y个资本单位生产出的产品数量。

1) 求由32个人力单位和1024个资本单位生产出的产品数量；(2) 求边际生产力；(3) 计算在x=32和y=1024时的边际生产力解(1)p(32,1024)=24032°.41024°.6=61440.-P0.60.60.60.62400.4xy96xy,(2)”虫=2400.6严丫心=144x04y^4.-y—1(32,1024^9632亠610240.6=768,(3) 伙虫〔(321024)=144320.41024亠=36.■y如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024，则如果人力的总数由32改变了一个单位，那么，产量将会改变768个单位假设人力的总数固定为32，则如果花费的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位高阶偏导数?z2._2_2_2(E05)设z=4x33x2y-3xy2-xy,求；Z：Z■x—=12x26xy_3y2_1,.:x:Z23x-6xy1;.7-2-2:Z:Z―2=24x6y,—=_6x,:x；:y-2-2:Z:Z'6x-6y,「6x-6y.:x:y:y：x例8设u=eaxcosby,求二阶偏导数_'Uax'Uax—=aecoSy,—=-besiby;:x:y_2_2u2axu2ax—2aecosby,—2becosby;.:x2-y:-Uax:Uaxabesinby,abesinby.x.y:y:x例9(E06)求z=xln(x•y)的二阶偏导数解計濮y)说，斜说；：2z1」x+y-xx2y-2:xxy(xy)_(xy)2-2Z-x-2y(xy)2,-2Z1•-x_yxy(xy)2(xy)2,cz_(x+y)-x_y习乂(xy)2(xy)2例10验证函数u(x,y)=ln..x2y2满足方程-2:u-2=0.ju：：X_2xx:u,y勺y一2xy2'；：2U一x2(x2■y)-'X222(xy)x22y-x(x2y2)2-2二u(x2y2)-y2y22x-y-2-■y/2丄2.2(xy)22\2(xy)-2-22222:-u+cuy-xxy+-2_xf2y(x2y2)2/2丄2\2(xy)11证明函数-2一uLaplace方程；dx—2=0,其中r二、x2y2z2.jz:u1；:r1xxjx2r；:x〒厂一3,r.：2u13x:r13x2■—r+—<■—+cr2:x4r.:x3r5r证由函数关于自变量的对称性，得-丄壬35-rr-2*小2-2■u13y'u3—，■:yrr:z-2-2-2；-u:-U:-u•r2.f2f2:xy工222A.3(x■yz)3一rr5r3例12设f(x,y)口0-0=lim0.x)0x訓疼*_yx—Qx2y2(H0,0),试求fxy(0,0)及fyx(0,0).(x,y)二(0,0)解因fx(0,o)划f(x,0)-f(0,0)当y=0时，fx(0,y)Jimf(x,y)-f(0,y)^0所以f(00)「fx(0,y)—fx(0,0)「—y—0dfxy(0,0)-limlim1TyTy同理有fy(0,0)=lim住八"0)=0,22当x=0时，fy(x,O)jm^^d.im習孚”,yTyy」x2+y2所以limfy(x,0)_fy(0,0)<2^=limU=1.x>0x课堂练习1若函数f(x,y)在点p)(xo,yo)连续，能否断定f(x,y)在该点的偏导数必定存在？2•设f(x,y)=fx2y2，问fx(O,O)与fy()，))是否存在?3.设z=f(x,y)二exysin二y(x-1)arctan—,试求fx(l,l)及fy(1,1).y。