信号与系统课件第二章25序列的Z变换.ppt

§2.5 序列的Z变换时间连续系统中：L变换（S平面）F变换（虚轴）F变换j0S平面时间离散系统中： F变换（单位圆）Z变换（Z平面）F变换0ejZ平面2.2.1 Z变换的定义及收敛域定义:双边Z变换单边Z变换Z变换存在的条件：收敛域令，代入收敛域得到：0通常Z变换是一个有理函数在极点处Z变换不存在，因此收敛域内没有极点FT和ZT之间的关系：F变换0ejZ平面条件：收敛域中包含单位圆收敛条件对Z变换：显然F变换的收敛条件相对较严格，例如u(n)的F变换不存在，但Z变换就存在对F变换：例1：例2：X (z)收敛域不包含单位圆，故傅立叶变换不存在，引进奇异函数则其傅立叶变换可以表示出来注1：注2：一个序列的傅立叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是存在的（收敛域）2.5.2 序列特性对收敛域的影响序列序列收收 敛敛 域域1 1，，有限长序列•• •••n0 • ••••••• •••••••n0 • •••• ••••••• •••••••因果性n••••• ••••••• •••••••0 非因果性非因果性例 求 的Z变换和收敛域。

解：收敛域为几乎整个Z平面0 其它2 2，，（无限长）左序列0n0 •••• ••••••••••••••••••••• •非因果性0•n•••••••0 •••••• ••• •• ••• •••••非因果性序列序列收收 敛敛 域域解：存在要求收敛域为0ej例 求 的Z变换及收敛域圆内部收收 敛敛 域域序序 列列3 3，（无限长）右序列因果性•n0 ••••••••••••••••••• •••• ••包括∞非因果性•n0 •••••••• •••••••••••••••••不包括∞收敛域0ej例：解：即不同的序列具有同一Z变换形式,但收敛域不一样圆外部4 4，（无限长）双边序列0 ••••••••••••n••••••••••••••••非因果性收收 敛敛 域域序序 列列双边序列可以表示成一个左序列和一个右序列之和假设 ， 的收敛域是 和 收敛域的公共区域如果 ,则收敛域为如果 ，两个收敛域没有公共区域， 不存在。

环例为实数，求的Z变换及收敛域.解＝的收敛域为，即的收敛域为，即如果 公共区域为当 ， 不存在 -6 -4 -2 0 2 4 62.5.3 Z反变换 二，留数法（围线积分法）二，留数法（围线积分法）若则CC是收敛域内反时针环绕原点的一条封闭曲线实际求Z反变换，因直接计算围线积分很麻烦，而是利用其它方法求解：若 在围线C以内, 所有的极点集合为 ， k=1,2..K 则根据留数定理 一，一，Z反变换定义反变换定义式中 表示被积函数 在极点 的留数，逆Z变换是围线c内所有极点的留数之和如果 ① 为单阶极点，则 ② 为S阶极点，则例1，已知试求Z反变换解：C当n-1时，围线内只有一个单阶极点当n-2时，围线内有一个单阶极点 ，还有极点z=0(-n-1阶）综合后，得到若 在围线C以外, 所有的极点集合为 , m=1,2,.M 留数定理的另一公式：留数计算同前利用本公式，对上例n-2下求x(n)较方便，只需计算围线外一个一阶极点z=4的留数。

（本公式应用的条件：要求 的分母多项式z的阶次须比分子多项式的阶次高出二阶或两阶以上）则，还有后一项例2，X(z)同例1，但收敛域不同：试求Z反变换╳╳╳╳C解：当n0时，围线内有两个单阶极点 和 z=4 当n<0时，由于 分母的阶次已比分子高2阶或2阶以上，可用留数法第二公式：∵围线之外没有极点， ∴留数=0；即 x(n)=0最后得到其实，由于 说明 z=∞不是X(z)的极点，收敛域包括∞在内， 那么x(n)必定是因果右序列完全可以断明： x(n)=0 ,当 n<0用留数法的注意点：①要对n进行分段：如n<0.n=0,n>0 ②围线以内查极点，不忘考察z=0，围线以外查极点，不忘考察z=∞二，查表法二，查表法 如教材P.51表2.5.1（注意收敛域）三，长除法（幂级数法）三，长除法（幂级数法）（对某些简单的左/右序列，可利用分式多项式直接相除）例1 已知 , 求x(n) 收敛域圆外部右序列 z的降幂11• • • • • • 归纳得：例2 已知 , 求x(n) 收敛域圆内部左序列 z的升幂1• • • • • • ∴∵四，部分分式展开法四，部分分式展开法把X(z)有理式 部分分式之和；分别求得各部分的反变换，相加即成总的x(n)展开成例题：设 试用部分分式展开法求Z的反变换解：原式=由于可查表2.5.1（第3条），得到除了以上几种方法之外，还可以利用Z变换的一些定理和性质来求解更复杂的反变换设 只有N个一阶极点，可展开成： 在 的极点的留数是系数 ，在 的极点的留数是系数适用于单阶极点的序列2.5.4 Z变换的基本性质和定理1 1，线性，线性（组合收敛域为各组分“相与”）例，若 ， 试求它的Z变换解：我们已知从而可得：利用Z变换的线性特性最终得到：2 2，，序列位移位移令证明：收敛域不变1. 对于双边Z变换2. 对于单边Z变换证3 3，，序列翻褶（z 倒置倒置)（收敛域界限--极点值成倒数）4 4，共轭，共轭序列证明：收敛域不变例 求 的Z变换知道=根据移位性5 5，，X(z)X(z)尺度尺度（与指数序列相乘）（收敛域放尺 ）证：6 6，，X(z)X(z)微分微分（序列乘以n）证：7 7，序列卷积，序列卷积（Z域乘积）（收敛域为两者的“相与”）则（收敛域重迭过程中如发生零极点相消，还有可能使卷积后的收敛域扩大）若证：收敛域不变例 已知系统的单位取样响应 ，输入序列为 求输出序列 。

解：法1法2由收敛域判定所以 设 y(n)=x(n)h(n) 则 由②得③由①③得正确确定围线C1所在的收敛域，查明C1包围哪些极点，这在复卷积计算中是很重要的 还可以证明得此时围线C2的收敛域为8 8，序列乘积，序列乘积（Z域复卷积）（新收敛域界限--极点值为两者相应乘积）证：①② 收敛域 解：我们知道利用复卷积公式其中得知收敛域：C1  在围线C1内只有一个一阶极点试求例， 设,证：所以9 9，初值定理，初值定理若 x(n)是因果序列，则1010，终值定理，终值定理若 x(n)是因果序列，且X(z)除在z=1处可以有一个一阶极 点外,其余极点全在单位圆内，则1111，ParsevalParseval定理定理----关于时域频域的能量公式设那么 平面上， 所在的收敛域为证明：令由复卷积定理得按照假设条件，在收敛域中，把 代入 中所以定理得证，即如果 和 都绝对可和，即单位圆上收敛，可在上式中令便有令狭义Parseval公式广义Parseval公式2.5.5 利用Z变换解差分方程N 阶常系数线性差分方程为1. 求稳态解如果输入序列 是在 以前 时刻加上的， 时刻的 是稳态解，对上面差分方程求Z变换，得到其中2. 求暂态解对于N 阶差分方程，求暂态解必须已知N 个初始条件。

设 是因果序列，已知N个初始条件 ， … 对差分方程求单边Z变换零状态解零输入解求例 已知其中，，，解：对差分方程两边求单边Z变换+零状态解零输入解利用Z变换分析信号和系统Z变换是分析离散信号和系统的重要方法，其特点是将变换是分析离散信号和系统的重要方法，其特点是将信号或系统表述通过信号或系统表述通过Z变换从时域转换到变换从时域转换到Z域（或者频域（或者频域），进而使得分析、描述和处理简单化和明了化域），进而使得分析、描述和处理简单化和明了化利用单位园上的利用单位园上的Z变换（离散序列傅氏变换），分析变换（离散序列傅氏变换），分析信号的频谱特性信号的频谱特性利用利用Z变换分析变换分析线性时不变线性时不变离散系统，主要通过研究系离散系统，主要通过研究系统的系统函数和传输函数来研究系统特性统的系统函数和传输函数来研究系统特性由离散系统理论知：线性时不变系统的单位脉冲响应由离散系统理论知：线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)能够表述系统特性又由能够表述系统特性又由Z变换的唯一性和一一对应性，通变换的唯一性和一一对应性，通过研究过研究h(n)的的Z变换可等效地研究系统特性。

变换可等效地研究系统特性系统函数定义：系统函数定义：传输函数定义：传输函数定义：利用系统函数判断系统的因果性和稳定性利用系统函数判断系统的因果性和稳定性线性时不变系统是因果系统的充要条件：线性时不变系统是因果系统的充要条件：h(n)=0，，n<0从而可得：线性时不变因果系统的从而可得：线性时不变因果系统的H(z)的收敛域是包括的收敛域是包括∞点的某个圆的外部即点的某个圆的外部即H(z)的极点一定在此圆的内部的极点一定在此圆的内部线性时不变系统稳定的条件为：线性时不变系统稳定的条件为：由此可得：稳定系统的系统函数由此可得：稳定系统的系统函数H(z)的收敛域一定包的收敛域一定包含单位圆含单位圆综合因果性和稳定性条件，可得：稳定的因果系统的综合因果性和稳定性条件，可得：稳定的因果系统的系统函数系统函数H(z)的收敛域为：的收敛域为：利用系统函数零极点分布分析系统频率特性利用系统函数零极点分布分析系统频率特性对物理可实现的系统，其系统函数总能分解为如下形对物理可实现的系统，其系统函数总能分解为如下形式：式：即系统特性可由系统函数的零极点分布确定即系统特性可由系统函数的零极点分布确定系统频率特性可通过系统频率特性可通过零极点到单位圆的矢量零极点到单位圆的矢量沿单位移沿单位移动轨迹描述。

由此可估计系统频率响应的大致情况动轨迹描述由此可估计系统频率响应的大致情况H(z)极点位置主要影响幅频特性的峰值位置和尖锐程极点位置主要影响幅频特性的峰值位置和尖锐程度；零点位置主要影响幅频特性的谷点位置及形状度；零点位置主要影响幅频特性的谷点位置及形状极点位置距单位圆越近，该极点对应的谱峰越尖锐；极点位置距单位圆越近，该极点对应的谱峰越尖锐；某极点矢量最短时对应的频率就是该极点谱峰的频率某极点矢量最短时对应的频率就是该极点谱峰的频率位置零点越接近单位圆，该零点对应的谷值越小（越接近零点越接近单位圆，该零点对应的谷值越小（越接近于零）；零点矢量最短时对应的频率就是该零点谷点于零）；零点矢量最短时对应的频率就是该零点谷点的频率位置的频率位置。