数学论文-柯西—施瓦兹不等式探讨.doc

安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 1 页 共 10 页柯西——施瓦兹不等式探讨 作者: 张道皇 指导老师: 唐燕玉摘要：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解本文在证明不等式，解三角形相关问题，应用方面给出几个例子近年来，许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式，并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究，本文在已有的文献基础上，总结出了柯西—施瓦兹不等式 4 种表现形式及其在数学中的应用本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化，也是对现有文献中相应结论进行改善关键词：柯西—施瓦兹不等式 证明 应用 引言：柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式，在证明不等式、解三角形相关问题 、数学分析中都有重要应用，本文在已有的文献基础上，总结了柯西—施瓦兹不等式 4 种表现形式，并且给出其一些应用性的例子 柯西（Cauchy）不等式在代数学中的表现形式 2211nniiiabbniRai2,1等号当且仅当 或 时成立（k 为常数， ）现将它的证02n ii ni2,1明介绍如下：证明 1：（判别式法） ，22 21111nnnniii iiiaxbaxabx关于小的二次三项式保持非负，故判别式，当且仅当 即22110nniiiab0,2iixn时等号成立21n证明 2 数学归纳法（1）当 时 左式= 右式=21ab21ab显然 左式=右式当 时， 右式 2n 2222 21111abab右式 1122ababab仅当即 即 时等号成立21212故 时 不等式成立 ,n 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 2 页 共 10 页（2）假设 时，不等式成立nk,2即  221211kkkababab  当 ，k 为常数， 或 时等号成立ii ,in 20ka设 221kA 212Cabab则 221111kkkkabA22C22121 1k kaa 1kkbb当 ，k 为常数， 或 时等号成立ii,2in 20kaa即 时不等式成立1n综合（1） （2）可知不等式成立；证明 3（配方法）因 221121112,102nniiinijijnnijijijijnijjiijabababa故柯西不等式获证。

等号当且仅当 成立,12,.ijjiabn柯西不等式在几何中表现形式柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释1）二维形式 222()()abcdacb 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 3 页 共 10 页如图， 可知线段 ， 及 的长度分别由下面的式子给出：OPQ2222,,()()abOcdPQacbd表示 与 的夹角由余弦定理，我们有22cosPQO将 ， ， 的值代入，化简得到O22csabd而 ，故有20cos122()cos1abdc于是　　 222()()abd这就是柯西不等式的二维形式我们可以看到当且仅当 ，即当且仅当 是零或平角，亦即当且仅当2cos1在同一条直线上是时等号成立在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话,OPQ说，除非 ，我们们总有 .0cdabcd（2）三维形式　　　 222 21313123()()()ab对于三维情形，设 是不同于原点 的两个点，则22,,,PaQb0,O与 之间的夹角 的余弦有OPQ 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 4 页 共 10 页123221cosabb又由 ，得到柯西不等式的三维形式：2cos1222 2313123()()()aba当且仅当 三点共线时，等号成立；此时只要这里的 都不是零，就有,OPQ123,b312ab柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西不等式成立。

定理：若 和 是两个复数序列，则有12(,)na12(,)nb，111nkkka当且仅当数列 和 成比例时等式成立ab证明：设 是复数，有恒等式2 2211 111()() Re()nn nnnkkkkkkababab若 （其中 ） ，则有 12nkkab0 22212110nknnkkkabab由此推出了复数形式的柯西不等式除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论定理 1：若 和 是实数列，且 ，则1(,)na1(,)nb01x222111( ()nkijkijkijjbxaxb当 时，这个不等式即为柯西不等式0定理 2：若 和 是正数序列，且 或 ，1(,)na1(,)nb 2zy01yz 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 5 页 共 10 页则 222222111111()()()()()()nnnnnnyyzzkkkkkkkabababa这个不等式实际上是 Holder 不等式的推论。

对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式定理：设 和 是在 上的实可积函数，则fg[,]ab222()(()()bbbaaaxdfxdgx当且仅当 和 是线性相关函数时等式成立f证明 1：对任意实数 ,　有　t 2()(0batfxx即　 22()()bbaatfxdfxgd2224)()bagxd即 ()((bbaafxgfx证明 2：将 n 等分，令 ，应用柯西不等式，, ibn22111()().,nii iii iifxgfxgx令 取极限，即证得证明 3：2222222221110bbbaaabbbbbbaaaaaababafxdgxfgxdfyfyfxfgxdfygddyfxgfgffyfyfydx  这就证明了施瓦兹不等式由此可看出，如果 连续，等号当且仅当存在,fgx（不全为零）使得 时成立fxg 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 6 页 共 10 页柯西不等式形式在概率中表现形式定理：对任意随机变量 和 都有　 .等式成立当且仅当22E.这里 是一个常数。

01Pt0t证明：对任意实数 ，定义 ；222())utttE显然对一切 ， ，因此二次方程 或者没有实数根或者有一个重根，所以，t()u0t.22()0E此外，方程 有一个重根 存在的充要条件是 .这时()t0t 22()0E.因此， .20()t 0{}1Pt有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助1） 证明不等式例 1 已知正数 满足 证明 ,abc1c2233abcabc证明：利用柯西不等式23131222cc333222abab33c1c又因为 在此不等式两边同乘以 2，再加上 得：22abab 22abc3cc223322c故233abcabc2） 解三角形的相关问题例 2 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的pABC,xyzp,abcRABC半径，证明 221xyzaR 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 7 页 共 10 页证明：由柯西不等式得， 11xyzaxbycz1axbyczabcA记 为 的面积，则SABC242cabczR1abaxy bcaR221bcR故不等式成立。

3）用柯西不等式解释样本线性相关系数在《概率论与数理统计》 〉一书中，性回归中，有样本相关系数，并指出 且 越接近于 1，相关程度越大， 越接1221()niiiniiiixyr=1rr近于 0，则相关程度越小现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数现记 ， ，则，iiaxiiby，由柯西不等式有，12niiiabr=1r当 时，1r2211nniiii ab此时， ， 为常数点 均在直线iiybkx,ixyni2,1上，kr当 时，1r2211nniiiiabb即 22110nniiii而 222111nniiiijjii ijnabbab0ijjiijn0ijji 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 8 页 共 10 页为常数,ibka此时，此时， ， 为常数iiybkxa点 均在直线 附近，所以 越接近于 1，相关程度越大,i xr当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点 都0r,ib k,ixy在直线 附近。

所以， 越接近于 0，则相关程度越小ykxr4）应用 Schwarz 不等式，可证明另外一些不等式使用时要注意恰当的选取函数与 fxg已知 ，在 上连续， 为任意实数，求证：0f,ab1,bafxdk22cossinbaafxkdfk证明： 式左端第一项使用 Schwarz 不等式12 222coscosscobbaabbaabafxkdfxfkxdffkfxd同理（3）22sinsinbbaafxkfxkd式 即得式2315)设 在 上有连续导函数， ，试证：fx,b0f2' 'b ba afdfxd证明：令 ' .bagxft 安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文第 9 页 共 10 页则 由 知' ',gxf0fa' 'xxaafffftdftgx因此（应用 Schwarz 不等式） ' '2'2'22''11bbaabbaabababafxgxgdftdftdxftft6)假设函数 在闭区间 上连续 阶导数 ，并且fx,bannfx求证：0,1,.kfan这里，12 2,mkb bkk ma afxdfxd。