探求解析几何中动点横（纵）坐标取值范围（最值）的策略.docx
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探求解析几何中动点横（纵）坐标取值范围（最值）的策略 平面解析几何中动点横（纵）坐标取值范围（最值）问题是高考中的热点，是教师教学中的重点，是同学学习中的难点.由于这类问题，没有固定的解题模型，没有规律可循，解法灵活，思维性强.因此，大多数同学想不到、找不到解题的切入点与突破口，心生畏惧，一筹莫展.对此问题，笔者试想，没有定法，应该有法，应该有策略.有几种？具体是什么方法？是什么策略？笔者结合自己多年积累的教学资料（教师错题集）和教学经验，反复思考，反复探究，归纳总结，给出如下六种策略，希望对同学们的学习有所启示和帮助，希望对同仁的教学有参考价值.1 走数形结合之路虽然解析几何是用代数方法研究几何学问题的学科，但是仍然离不开由数想形、由数画形、以形助数、由形化数，问题获解.例1 已知直线l：y=1与y轴交于点M，Q为直线l上异于点M的动点，记点Q的横坐标为n，若曲线C：x22+y2=1上存在点N，使得∠MQN=45，则n的取值范围是（用区间表示）.解析 令Q（n，1），n≠0，kQN=k，则lQN：y=k（x-n）+1，通过画图，如图1，观察图形可知，当Q在第一象限，k=1时，lQN与椭圆相切时，n取得最大值.由x2+2y2-2=0，y=（x-n）+1， 得3x2+4（1-n）x+2（n2-2n）=0，由Δ=0，得n=13，n=1-3不符合题意，舍去;当Q在第二象限，k=-1时，lQN与椭圆相切时，n取得最小值.由x2+2y2-2=0，y=-（x-n）+1， 得3x2-4（1+n）x+2（n2+2n）=0，由Δ=0，得n=-13，n=-1+3不符合题意，舍去.所以n∈[-1-3，0）∪（0，1+3].2 走三角函数之路选取变量角为自变量，建立所求与变量角的函数关系式，把问题转化为三角函数的值域（最值）问题，问题获解.例2 （2014年高考全国卷Ⅱ理科数学第16题）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45，则x0的取值范围是.[2]分析 选取∠MNO为自变量，记∠MNO=α，应用正弦定理建立x0与α的关系式，问题转化为求角α的三角函数的值域问题.图2解 因为点M（x0，1）在直线y=1上运动，记∠MNO=α，如图2，则∠MON+α=135，所以0<α<135，又因为MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45，于是45≤α<135.在△MON中，因为MO=x20+1，ON=1，所以由正弦定理，得x20+1sinα=1sin45，即x20+1=2sinα，从而问题转化为求角α的三角函数2sinα的值域.因为45≤α<135，所以1≤2sinα≤2，故而1≤x20+1≤2，解得-1≤x0≤1，从而x0的取值范围是[-1，1].评注 此题有如下简解.过O作OP⊥MN，P为垂足，图3如图3，则|OP|=|OM|sin45≤1，所以|OM|≤1sin45，从而|OM|2≤2，于是x20+1≤2，故-1≤x0≤1，故而x0的取值范围是[-1，1].3 走数量积定义之路根据数量积定义，进行向量坐标运算，建立关于所求的不等式，问题获解.例3 （2000年高考全国卷文科数学理科数学第14题）椭圆x29+y24=1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是.[3]解 設P（x，y），不妨设F1（-5，0），F2（5，0）.由∠F1PF2为钝角，知PF1PF2<0，所以（-5-x，-y）（5-x，-y）<0，即x2-5+y2<0，即59x2<1，解得-355
