序列空间几何结构的直观表示.doc

P -序列空间几何结构的直观表示数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业105012005072 林洪章 指导老师 王建【摘要】 在混沌动力学中会碰到一种奇特的空间——卩一序列空间（z,<）,即工={—2…为…“圧{0丄2,・・・〃一1}},其中是定值，1 < p59定义其度量为dgP1,其中= …片T = tQt}t2/=0这是一个很难从直观上认识的空间，但是，实际上，易证（工，dg）是一个度量空间，并且不能等距同构于欧氏空间在这篇文章中，我们将构造序列空间（乙〃8）的几何结构，以便从直观上认识序列空间.【关键字】 序列空间；几何结构；直观表示；等距同构1. 引言在混沌动力学中会遇到一种奇特的度量空I'可一一序列空I'可（LdJ ,定义如下：定义1.1设集合工={%»$2…片…丨》w {0,1,2,・・・〃一1}},其中p是定值，1 < p<9 ,定义其度量为匚（恥）=刃® /j ,其中<7 = $0甲2・・・$“…，r = /0z/2•••/„•••,称工为/?一序列空间. /=0 P在定义中，尽管己经很清楚的定义了序列空间工中的点，以及点与点Z间的距离，但是 还是难以从直观上认识整个序列空间的儿何结构.为了认识序列空间工的几何结构，先来考虑序列空I'可刀的有限子空间族.定义1. 2设是一个集合，并且满足n-1 I _ f I工广{加】$2…兀一】l®w{0‘l'2,・・・p-l}‘ 0〈pS9}, dn（m） = 2 ' J ,/=0 P其中 b =佔$2 …》一「I = W1 …C,-l •容易证明（X,孔）和（％, O 都是度量空间.对于一个给定的度量空间，对其建立一个简单的几何模型，最好的方法莫过于将这个度量空间等距嵌入欧氏空间中，比如R，/?2或者在本篇文章的第四部分将会给出序列空间E的子空间工2不能等距嵌入欧氏空间（卍,蘇）（心为欧几里得度量），无论n的収值为多大.因此序列空间另也就不能等距同构于欧氏空间定义1・3在欧氏空间中定义度量pl认，0 = 2＞厂「， 其中$ =（几冷,$2,…，仏），心仏昇"，…，—-】），则称〃g为/=0网格度量.设映射齐：（工n，d〃）T（/r,比）齐（加】…％） = &，»•••，片一1 ）其中S严十.在本篇文章的第四部分，将会证明映射％是（乙「，久）到仪",〃g）的等距映射.因此映 射齐的象就是％在（疋,心）中的几何模型•例如：当p=2时,5={0，1},纭在映射齐下的象包含两个点，如图1・1：Z2 ={（00）,（01 ）,（10）,（1!）},工2在映射了2下的彖包含四个点，如图1・2图 1・2 y2(Z2)刀3 = {(000),(001),(010),(100),(101),(110),(011),(111)},工3在映射匕下的象包含 8 个 点，如图1-3A2B2图1・3佃)同理当p=3时，(000),(001),(010),(100),(101),(110),(011),(111), 、 (002),(020),(200),(102),(201),(202),(120),(210),(202)(012),(021),(022),(112),(121),(211),(122),(212),(221)(222)%在映射人下的象包含27个点，如图1-4图1・4佃）利用这种方法，能很容易地建立序列空间工“的儿何模型，然而对于工“中门的取值大 于3的情况，这种几何模型，却不能很容易的直观表示的几何模型.同样对于序列空间工而 言，这种方法，就显然不适用于建立其直观的几何模型.然而，如果我们可以寻找一种方法, 能再将的几何模型，“挤压”到二维或者三维的空间里面，就能获得直观的几何结构，事实上，本篇文章中，将介绍一种可以将工“的几何模型“挤压”到实平面中，从而获得直观 的几何结构的方法.例如：当p=2时，儿（工3）的几何模型如图I",是一个长为1个单位，宽为+个单位，高为扌个单位的长方体，儿（工J中任意两点的距离为两点之I'可沿着长方体的边的最短的路径的长度.接下來，按图1・5到图1・6的挤压方法即，可以将73（力3）的三维儿何结构，转化成二维的儿何结构.A4A2B2B1B4A3A203B2A1图1-6同样当=3时，卩3（》3）的儿何模型如图1・4,是一个长为2个单位，宽为一个单位为一个单位的长方体，儿（》3）中任意两点的距离为两点之间沿着长方体的边的最短的路径的长度.接下來，按图1・7到图1・8的挤压方法即，可以将九（工3）的三维几何结构，转化成二维 的几何结构.C3图1-7A3B3A1B1C1A2B2C2C3 C6 C9图1-8利用的类似上述的转化方法，就可以将》n的儿何结构转化到平面内.在这篇文章中，用类似的方法，将序列空间工的几何结构转化到平面内.在这之前，我们先看一个简单的空间模型，认识什么是几何结构的直观表示.2. 一个简单的离散度量空间的几何结构的直观表示为了图解，什么是儿何结构的直观表示，先来认识一个简单的离散度量空间X,即 d（x, y） = 1, x, ye X .下面将为这个离散度量空间的建立可以直观表示的几何模型.我们所要构建的模型包含四个要素（1）点集P （点集P中的点与集合X中的点是一一 对应的）（2）线段的集合S （集合S中的线段，构成集合P中任意两点之间的路径）（3）定义点集P中的任意两点存在唯一的合适路径(4)度量d”(用来衡量(3)中的惟一的合适 路径的长度).根据以上的建模方法，构建离散度量空间X的几何模型.2. 1点集P设点集PuRS P=其中n是离1 2龙(r, &)|r = —, 0-——，kw (0,1,2,…，n-1)2 k散度量空间的元素个数.例如：当时，点集P的点位于半径为丄的圆周上，如图2・1所示2图2-12. 2线段的集合S线段的集合S的线段为连接点集P中的点与圆心的线段. 例如：当n=8时，线段的集合S如图2・2所示：图2-22. 3合适路径定义在点集P中两点之间从一点到另一点所经过的路径中长度最短的一条路径称之为 这两点Z间的合适路径.2. 4度量定义点集P的度量dp为构成点集P中的两点Z间的合适路径的线段的长度的总和 定义了这个度量，很显然离散度量空间P等距同构于离散度量空间X.综上所述，离散度量空间X的几何结构可以直观的表示为古代马车的木制车轮如图@2-3 ,图2-3空间上的点，位于车轮辐条的终点，点与点的路径为沿着一个点的所在的辐条到车毂，再沿 着另一个点所在的辐条，从而达到另外一个点.利用这种为离散度量空间建立可直观表示的几何结构，我们可以扩展类似的方法为序 列空间丫建立可直观表示的儿何结构.3. 建立序列空间的几何模型采用类似为离散度量空间x建立儿何模型的方法，可为序列空间力建立儿何模型.3. 1点集定义3・1设xw[O, p)uR , an(x)为x的〃进制展开式丄项的系数，即P8 1X=Xan(X)—^ 其中 d“(x)w{° 丄…,P —1} •?i=0 P定义3・2设Pu[O, p)x[O, p)且P二{(x, y)|VneN, a2n(x) = 0, a2n+1(y) = 0}.当p=2时如图3-1为集合P的某一子集在实平面R2内的图像当/? =3时如图3-2为集合P的某一子集在实平面R2内的图像¥1 ittl RII 99tt VI11 (I图3・l图3・2定义3. 3设映射疗：为TP兀（$0护2…片…）=工七，X十，•\ i odd P i even P ）例如，0. 101016I 1V 二 1+ —+4序列片iiiiii6w》，在映射龙的作用下，基于二进制时,y坐标为1.010100 ,基于十进制时兀=丄+丄+丄+ 0 +・・2 8 32忆+°+2116即龙(<7)=21 2132,16丿<坐标为_21•— ,32序列ct=2112110gS，在映射兀的作用下，基于三进制时x坐标为0. 102010,y坐标为2.010100,基于十进制时% = - + 2x—+ —+ 0 + =3 27 243100243y = 2 + - + —+ 0 +=9 81172IT100 172、243?^T>引理3. 1龙是一个双射. 证明：（1）先证明龙是一个单射,设<7 =必3*2 …，r = zor/2---e 工,假设兀（6=兀（t）,即兀（必护2…）=龙（％』2…）则冇 0 H—y + 0 —y + () + •••，—+ 0 —-y + () + ••• { P P P P=0 + 2 + 0 + 2 + 0 +…厶+ 0 + 2 + 0 +…(p p、 p P" 丿所以0 +斗+ 0 + 三 + 0 +・・・二0 + 斗 + 0 + £ + 0 +…且气+ 0 +工+ 0 +…二_^ + 0 +工+ 0 +…p p~ p p~由于兀（（7）=龙（£）,所以龙（CT）,龙（/）的横坐标和纵坐标分别相等，则龙（＜7）,龙（「）的横坐标和纵坐标的二进制展开式的每一项都分别相等,因此Sj=ti，即O-T,所以龙是单射.（2）再证龙是一个满射.设 vg P ,且 v 的坐标为 v =（兀,y）,有 a2n （x） = 0, a2n+1（y） = 0,i为偶数2为奇数显然龙（77）=v，所以兀是满射综上(1), (2)所述龙是双射.命题得证接下来，需要定义端点为集合P上的点的线段集合，以及定义能保持映射兀等距同构 的合适路径和度量.3. 2线段的集合S定义 3. 4 集合 S 满足S = {/(a, b) | Bln；丹(a)” H 肝(b)”，a, be P]其中4表示序列&的第n项，/(a, b)表示以点a和点b为端点的线段.需要注意的是集合P上的任意一点，对于任意k的取值，都有惟-一条长为丄的线段 P以该点为端点.例如：如图1-1,每一个顶点都有惟一一条边长为1,丄，丄的边以该点为端2 4 点.引理 3・2 设|/(a, b)|为线段/(a, b)的长度，则 |/(a, b)| = <(^(a),龙"(b))・证明：由于点a与点bp,要么横坐标不同，要 么纵坐标不同，也就是序列^(a)与序列Kl(b)中只有惟一的一项不同，不妨设点a与点b的横坐标不同，纵坐标相同，即 序列十(a)与序列兀"(b)中的第n项不同， 则有：|/(a, b)| = |》啤一为兰単|i=odd P i ^odd P=|工 肝(a)厂肝(b)仃i=odd P兀(a) 一矿' (b)=|0 + 0 +・・・+ —」 +0 + 0 +・・・|pn=心(。