新教材人教B版数学选择性必修三课件-5.3.2.1等比数列的前n项和.ppt

5.3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 主题1等比数列的前n项和 1.已知数列1,21,22,23, 如何求其前64项和S64=1+21+22+23+263? 提示:用2乘以等式的两边,得: 2S64=21+22+23+263+264, 作差得S64=264-1. 基础预习初探 2.参照1的求法,如何求等比数列an的前n项和Sn? 提示:设等比数列an的首项是a1,公比是q,前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, 则qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn, 由-得(1-q)Sn=a1-a1qn, 当q1时,Sn= , 当q=1时,Sn=na1.即Sn= 结论: 等比数列的前n项和公式 Sn= _ 或Sn= _ . 【对点练】 1.等比数列an中,a1=-1,a4=64,则数列an的前3项和S3=() A.13B.-13C.-51D.51 【解析】选B.设公比为q,由题意,等比数列an中,a1=-1,a4=64,所以 a4=-1q3=64, 解得q=-4, 所以数列an的前3项和S3= =-13. 2.已知等比数列an中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=_. 【解析】因为q=2,n=5,Sn=62, 所以 =62, 即 =62,所以a1=2. 答案:2 主题2等比数列前n项和的性质 给定等比数列an:1,2,22,23,2n, 1.计算an的前n项和Sn,观察前n项和有什么特点? 提示:Sn= =2n-1,Sn是由一个关于n的指数式与一个常数 构成的. 2.计算S4,S8,S12,并判断S4,S8-S4,S12-S8是否构成等比数列. 提示:S4= =24-1, S8= =28-1, S12= =212-1. S8-S4=28-24=24(24-1), S12-S8=212-28=28(24-1), 所以 =24. 故S4,S8-S4,S12-S8成等比数列. 结论:等比数列前n项和的性质 (1)当q1时,Sn= ,若设A= ,则Sn=-Aqn+A,故Sn是 由一个关于n的指数式和一个常数构成的,且指数式的系数与常数项互为相反数. (2)若等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成公比为qn的等比数 列. 【对点练】 1.等比数列an的前n项和为Sn,S2=7,S6=91,则S4为() A.28B.32 C.21D.28或-21 【解析】选A.因为an为等比数列,所以S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,即7,S4- 7,91-S4成等比数列, 所以(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21. 因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)S2,所以S4=28. 2.已知Sn是等比数列an的前n项和,若S4=1,S8=3,则S12=_. 【解析】由Sn为等比数列an的前n项和,所以(S8-S4)2= S4(S12-S8),即(3-1)2=1(S12-3),所以S12=7. 答案:7 3.在数列an中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和为Sn=3n+k,则实数 k=_. 【解析】方法一:当n=1时,a1=S1=3+k, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=3n-3n-1= 23n-1. 由已知知an为等比数列,所以a1=3+k=2,则k=-1. 方法二:由已知知,an是等比数列, a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18, 由 =a1a3得18(3+k)=36,解得k=-1. 答案:-1 核心互动探究 探究点一等比数列前n项和的运算 【典例1】已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=6,b2b4=a16. (1)求an的通项公式. (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1. 【思维导引】(1)设等差数列an的公差为d.由a1=1,a2+a4=6,可得公差d的值,可 得等差数列an的通项公式. (2)设等比数列bn的公比为q.由(1)中结论,可得b2b4=a16=16,可得q2=4,可得 b2n-1是以1为首项,以q2=4为公比的等比数列,可得b1+b3+b5+b2n-1的值. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d.由题意可知,a1=1,a2+a4=1+d+1+3d=6, 解得,d=1, 所以an的通项公式为an=1+(n-1)1=n. (2)设等比数列bn的公比为q.由(1)中结论,可得a16=16,所以b2b4=3=16, 所以q2=4,所以b2n-1是以1为首项,以q2=4为公比的等比数列,通项公式为 b2n-1=4n-1, 所以b1+b3+b5+b2n-1= . 【类题通法】等比数列前n项和公式的应用技巧 (1)应用等比数列的前n项和公式时,首先要对公比q=1或q1进行判断,若两种 情况都有可能,则要分类讨论. (2)当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1; 当q1时,等比数列的前n项和Sn有两个公式. 当已知a1,q与n时,用Sn= 比较方便; 当已知a1,q与an时,用Sn= 比较方便. 【定向训练】 在公差不为零的等差数列an中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求an的通项公式. (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Sn. 【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知得 =a1a5, 则(a1+d)2=a1(a1+4d),将a1=1代入并化简得d2-2d=0,解得d=2,d=0(舍去).所以 an=1+(n-1)2=2n-1. (2)由(1)知bn=22n-1,所以bn+1=22n+1,所以 =22n+1-(2n-1)=4,所以数列bn是首 项为2,公比为4的等比数列. 所以Sn= . 【补偿训练】 在递增的等比数列an中,已知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和为Sn=42,则 n=() A.3B.4C.5D.6 【解析】选A.因为a1+an=34,a1an=a3an-2=64,等比数列an为递增数列,所以 a1=2,an=32=a1qn-1, 所以Sn= =42,所以q=4,所以n=3. 探究点二等比数列前n项和性质的简单应用 【典例2】(1)在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,则S3n=_. (2)已知等比数列an的前4项和为1,且公比q=2,求前12项的和. 【思维导引】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列求S3n. (2)根据S4,S8-S4,S12-S8的关系求S12. 【解析】(1)由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列得(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即(60- 48)2=48(S3n-60),所以S3n=63. 答案:63 (2)因为S4=1,q=2,所以S8-S4=a5+a6+a7+a8=q4S4=24=16,解得S8=17. 又因为S4,S8-S4,S12-S8成等比数列, 所以(S8-S4)2=S4(S12-S8),即162=S12-17, 所以S12=273. 【类题通法】等比数列前n项和性质应用的关注点 (1)在解决等比数列前n项和问题时,当条件含有奇数项和与偶数项和的时候,如 果项数为偶数,可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解. (2)当已知条件含有片段和时,要考虑性质Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列. 【定向训练】 正项等比数列an中,Sn为其前n项和,若S3=3,S9=39,则S6为() A.21B.18C.15D.12 【解析】选D.由S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, 得(S6-S3)2=S3(S9-S6), 即(S6-3)2=3(39-S6), 即 -3S6-108=0, 解得S6=12或S6=-9(舍). 【补偿训练】各项都是正数的等比数列an,前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,求 S40. 【解析】设等比数列an的公比为q.由题意知q1,由S10,S20-S10,S30-S20, S40-S30成公比为q10的等比数列, 则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10, 即q20+q10-6=0,得q10=2或q10=-3(舍), 所以S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30) =10(1+2+22+23)=150. 探究点三等比数列前n项和公式的实际应用 【典例3】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以 此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减 少 ,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作 用,预计今后旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设n年内(本年度为第1年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn, Tn的表达式. (2)至少要经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 【思维导引】(1)转化为两个等比数列前n项和问题求解. (2)只需求出TnSn的最小正整数n即可. 【解析】(1)第1年投入800万元,第2年投入800 万元,第n年投入 800 万元.所以,n年内的总投入Sn=800+800 +800 =4 000 . 第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400 万元,第n年 旅游业收入为400 万元.所以,n年内的总收入Tn=400+400 +400 =1 600 . (2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入, 因此Tn-Sn0, 即1 600 -4 000 0, 化简得5 0, 即 ,可得n5.所以,至少要经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. 【类题通法】解答数列应用题的步骤 (1)审题仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄 清该数列的结构和特征. (3)求解求出该问题的数学解. (4)还原将所求结果还原到实际问题中. 具体解题步骤用框图表示如下: 【定向训练】 九章算术中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自 半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1 尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等, 则所需时间为() (结果精确到0.1.参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1) A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天 【解析】选C.设蒲每天生长的长度组成等比数列an,其a1=3,公比为 ,其前n 项和为An, 则An= . 莞每天生长的长度组成等比数列bn,其b1=1, 公比为2,其前n项和为Bn. 则Bn= , 由题意可得: , 整理得:2n+ =7, 解得2n=6,或2n=1(舍去). 所以n=log26= =1+ 2.6. 所以估计2.6天蒲、莞长度相等. 【补偿训练】 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若 干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相 逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一 尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,Sn为 前n天两只老鼠打洞之和,则Sn=_尺. 【解析】大老鼠每日打洞的距离是首项为1,公比为2的等比数列,小老鼠每日打 洞的距离是首项为1,公比为 的等比数列,故Sn= . 答案:2n- +1 【课堂小结】 课堂素养达标 1.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则 =() A.2B.4C. D. 【解析】选C. 2.在等比数列an中,已知a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则a3+a4+a5+a6+a7等于() 【解析】选A. 由a1+a2+a3=6,且q=- ,得a1=8, 可得a2=a1q=8 =-4, 所以a3+a4+a5+a6+a7=S7-a1-a2。