2023年考研数学一真题解析.docx

一、选择题:1~8小题，每小题４分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1）若函数在连续,则( ）A． B. Ｃ. D. 【答案】A【解析】由连续的定义可得，而,,因此可得，故选择A2）设函数可导,且,则(　)A．　Ｂ. C. D. 【答案】C【解析】令，则有,故单调递增，则，即，即,故选择Ｃ３)函数在点处沿向量的方向导数为（　）Ａ.１２B．6C.4D.2【答案】D【解析】,因此代入可得，则有4)甲乙两人赛跑,计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表达甲的速度曲线（单位：m/ｓ）,虚线表达乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10，20,３,计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：ｓ)，则（ )A. B． C. Ｄ. 【答案】Ｃ【解析】从0届时刻，甲乙的位移分别为与,由定积分的几何意义可知，,因此可知5）设为n维单位列向量,Ｅ为n维单位矩阵，则（　）A． 不可逆B. 不可逆C. 不可逆Ｄ． 不可逆【答案】A【解析】由于的特性值为0(n-1重）和1，所以的特性值为1（n-1重）和0,故不可逆６）已知矩阵,则(　）。

Ａ.A与C相似,B与Ｃ相似Ｂ.　Ａ与Ｃ相似，B与C不相似C． A与Ｃ不相似,B与Ｃ相似D．　Ａ与C不相似,B与C不相似【答案】B【解析】A和Ｂ的特性值为２，2，1,但是A有三个线性无关的特性向量，而B只有两个,所依A可对角化,Ｂ不可，因此选择Ｂ７)设Ａ，Ｂ为随机事件，若，且的充足必要条件是(　）Ａ．　B. C． D. 【答案】Ａ【解析】由得，即，因此选择A8）设来自总体的简朴随机样本，记,则下列结论中不对的的是（ )Ａ. 服从分布Ｂ. 服从分布C. 服从分布D.　服从分布【答案】B【解析】,故,，因此，故，故B错误，由可得，，,则有，因此二、填空题:9~14小题,每小题4分，共2４分,请将答案写在答题纸指定位置上９）已知函数，则=＿___＿____答案】０【解析】,因此,代入可得1０)微分方程的通解为=___＿_＿___答案】 【解析】由,所以,因此，因此通解为：１1)若曲线积分在区域内与途径无关，则=__＿＿＿＿_＿_答案】－1【解析】设，因此可得:，根据，因此可得1２）幂级数在区间内的和函数=_＿_＿_____答案】【解析】13)设矩阵，为线性无关的３维向量,则向量组的秩为_＿_＿__＿__。

答案】２【解析】由于，而,因此,所以向量组的秩21４)设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数,则=_________答案】2【解析】因此可得三、解答题:　1５~23小题,共94分,请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算环节1５)(本题满分10分)设函数具有2阶连续偏导数,，求答案】,【解析】由于,所以,因此因此得：（16)（本题满分10分）求【答案】【解析】由定积分的定义可知，，然后计算定积分,(1７）(本题满分１0分）已知函数由方程拟定,求的极值答案】极大值为,极小值为解析】对关于求导得:,令得,因此,当时，,当时，对关于再次求导得:,将代入可得当时，时，代入可得，当时，时,代入可得,因此有函数的极大值为，极小值为１8）(本题满分10分)设函数在区间上具有2阶导数,且，，证明:（Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根;(Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根答案】(Ⅰ）证:由于，由极限的局部保号性知,存在，使得，而，由零点存在定理可知,存在，使得Ⅱ)构造函数,因此,由于,所以，由拉格朗日中值定理知，存在,使得，所以,因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。

解析】略（19）(本题满分10分)设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分,其上任一点的弧度为,记圆锥与柱面的交线为,（Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程;（Ⅱ)求的质量答案】（Ⅰ）;(Ⅱ)64解析】(Ⅰ)的方程为,投影到平面上为（Ⅱ），因此有20）（本题满分1１分)三阶行列式有３个不同的特性值，且,（Ⅰ）证明;(Ⅱ)假如，求方程组的通解答案】(Ⅰ）略；（Ⅱ)解析】（Ⅰ)证:由于有三个不同的特性值,所以不是零矩阵,因此,若，那么特性根0是二重根，这与假设矛盾，因此,又根据,所以,因此Ⅱ)由于,所以的基础解系中只有一个解向量，又，即,因此基础解系的一个解向量为由于,故的特解为，因此的通解为21）（本题满分１1分）设在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵答案】,正交矩阵【解析】二次型相应的矩阵为，由于标准型为，所以，从而,即,代入得，解得;当时，,化简得,相应的特性向量为;当时，，化简得，相应的特性向量为;当时,,化简得，相应的特性向量为；从而正交矩阵２2）（本题满分11分)设随机变量和互相独立，且的概率分布为，的概率密度为（Ⅰ）求；(Ⅱ)求的概率密度答案】(Ⅰ）(Ⅱ)【解析】（Ⅰ)由数字特性的计算公式可知:,则(Ⅱ）先求的分布函数,由分布函数的定义可知：。

由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知(其中为的分布函数：)（２3)（本题满分１1分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量,该物体的质量是已知的，设次测量结果互相独立，且均服从正态分布,该工程师记录的是次测量的绝对误差,运用估计（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ)运用一阶矩求的矩估计量；(Ⅲ)求的最大似然估计量答案】(Ⅰ)（Ⅱ)（Ⅲ)【解析】（Ⅰ）由于,所以，相应的概率密度为,设的分布函数为,相应的概率密度为；当时，;当时,；则的概率密度为;（Ⅱ）由于,所以,从而的矩估计量为；（Ⅲ)由题可知相应的似然函数为,取对数得:,所以,令,得，所以的最大似然估计量为。