高代第六章-线性空间.ppt

线性空间,第六章 线性空间,线性空间,§1 集合和映射,§1 集合和映射,一、集合,集合：由一堆东西组成的整体，通常用大写字母A、B、C表示元素：组成集合的个体，通常用小写字母a、b、c表示集合与元素的关系：,(1) a∈A 表示a是集合A中的元素2) a∈A 表示a不是集合A中的元素3) 无限集：由无限个元素组成的集合4) 有限集：由有限个元素组成的集合5) 空集：不含任何元素的集合，通常用Ф表示线性空间,§1 集合和映射,集合的表示方法：,(1) 列举法：列举出集合的全部元素2) 描述法：给出元素所具有的共同特征，表示为,A={ a | a具有的某种性质} 集合与集合的关系,(1) 包含：若集合A的元素全是集合B中的元素，则称A是B的,子集合，或称集合B包含集合A，记为A⊂B或B⊃A2) 相等：若集合A与集合B含有完全相同的元素，则称集合,A与集合B相等，记为A=B线性空间,§1 集合和映射,集合的运算：,(1) 集合的交：A和B是两个集合，既属于A又属于B的所有元,素组成的集合称为A与B的交，记为：A∩B={ x | x∈A且x∈B }2) 集合的并：A和B是两个集合，属于A或属于B的所有元素,组成的集合称为A与B的并，记为：A∪B={ x | x∈A或x∈B }。

集合的交和并可以推广到任意个集合的情况：,线性空间,§1 集合和映射,几个运算规律：,(1) A∩B⊂A A∩B⊂B,(2) A∪B⊃A A∪B⊃B,(3) A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A,(4) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),(5) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),线性空间,§1 集合和映射,二、映射,映射：设A、B是两个非空集合，若存在A到B的一个对应法则,σ ，使得对∀a∈A，存在唯一确定的b∈B与之对应，则称σ是,A到B的一个映射，记为σ ：a→b或σ(a)=b，其中b称为a在映射,σ下的像，a称为b在映射σ下的原像关于A到B的映射σ，应该注意以下几点：,(1) 若集合A和B相同，常称为A到A的变换2) 集合A中每个元素必须在B中有像，而且像是唯一的，但A,中不同的元素可以有相同的像3) 不要求集合B中每个元素在A中有原像4) 两个集合之间可以建立多个映射线性空间,§1 集合和映射,映射的像集：,设σ是集合A到B的映射，其像的全体称为σ的像集，记为：,σ(A)={ σ(a) | a∈A } 或 Im(A)={ σ(a) | a∈A }映射的相等：,设σ和τ是集合A到B的两个映射，若对A中每个元素a，都,有σ(a)=τ(a)，则称这两个映射相等，记为：σ=τ。

线性空间,§1 集合和映射,特殊映射：,恒等映射：设σ是集合A到A的映射，若对∀a∈A都有σ(a)=a，,则称σ是集合A上的恒等映射，记为： σ=IA,满射：设σ是集合A到B的映射，若σ(A)=B，则称σ为A到B,单射：设σ是集合A到B的映射，若∀a1,a2∈A，a1≠a2，有,σ(a1)≠σ(a2), 则称σ是A到B的单射双射：设σ是集合A到B的映射，若σ既是单射又是满射，,则称σ是A到B的双射，或称为一一映射线性空间,§1 集合和映射,映射的乘积：设σ是集合A到B的映射，τ是集合B到C的映射，,定义: (τσ)(a)=τ(σ(a)), ∀a∈A，则称τσ是映射σ和τ的乘积，,其中τσ是集合A到C的映射逆映射：设σ是集合A到B的映射，τ是集合B到A的映射，若,τσ=IA, στ=IB, 则称τ为σ的逆映射，记为：τ = σ-1 设σ是A到B的映射，则σ可逆的充要条件是σ为一一映射线性空间,§2 线性空间的定义和性质,§2 线性空间的定义和性质,一、线性空间的定义,例1 解析几何中，三维空间中向量的基本属性是可按平行四,边形规律相加，也可以与实数做数量乘法例2 为求解线性方程组，定义了n维向量的加法和数与向量的,例3 对于函数，定义了函数的加法和实数与函数的数量乘法。

虽然所考虑的对象不同，运算的定义也各不相同，但它们都 有类似的代数运算：加法和数量乘法数量乘法线性空间,§2 线性空间的定义和性质,定义1 设V是一个非空集合，P是一个数域在集合V上定义,一种代数运算， 加法：对V中任意两个元素α和β，在V,中都有唯一的一个元素γ与它们相对应，称为α与β的和，,记为：γ= α+β在数域P与集合V的元素之间定义一种,运算，数量乘法：对于数域P上的任意一个数k与V中任意一,称为k与α的数量乘积，记为： δ=kα如果所定义的加法,和数量乘法满足如下8条规则，则称V为数域P上的线性空间个元素α，在V中都有唯一的一个元素δ与它们相对应，称,线性空间,§2 线性空间的定义和性质,对∀α，β，γ∈V，k，l∈P，加法满足下面四条规则：,(1) α + β = β + α,(2) (α + β) + γ = α + (β + γ),(3) V中有一元素Θ，对于V中任一元素α都有 Θ + α = α,(4) V中任一元素α，都有V中的元素β使得 α + β = Θ,数量乘法满足下面两条规则：,(5) 1α = α,(6) k(lα) = (kl)α,数量乘法与加法满足下面两条规则：,(7) (k + l)α = kα + lα,(8) k(α + β) = kα + kβ,满足以上8条的加法和数量乘法通常称为线性运算。

线性空间中的元素也称为向量，因此线性空间也称为向量 空间，但这里的向量比几何中向量的含义要广得多线性空间,§2 线性空间的定义和性质,几个例子：,例4 数域P上所有m×n阶矩阵组成的集合，按矩阵的加法和数,与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，记为 Pm×n特别地，Pm={ (a1,a2,…,am) | ai∈P}是由全体m维向量组成的集,合，按向量的加法和数量乘法构成一个向量空间例5 数域P上一元多项式环P[x]，按多项式的加法和数与多项式,的乘法，构成数域P上的线性空间若只考虑其中次数小于n的,多项式，再添上零多项式，也构成数域P上的线性空间，记为：,例6 全体实函数，按函数的加法和数与函数的乘法，构成实数,域上的线性空间例7 数域P上，按数的加法和乘法，构成一个自身的线性空间P[x]n线性空间,§2 线性空间的定义和性质,例8 按通常几何向量的加法和数量乘法，下列各集合是否构成,实数域上的线性空间1) 空间中与一个已知向量ξ平行的全体向量添上零向量组成,(2) 空间中不平行于一个已知向量ξ的全体向量组成的集合V3) 起点在原点，终点在一条直线上的全体向量组成的集合V例9 按通常多项式的加法和数量乘法，下列各集合是否构成数,域P上的线性空间。

1) 数域P上次数等于定数n(n≥1)的多项式所组成的集合V2) 数域P上一切形如,的多项式所组成的集合V3) 已知数域P上的多项式g(x)，g(x)的所有倍式所组成的集合V的集合V线性空间,§2 线性空间的定义和性质,例10 按通常数域P上矩阵的加法与数量乘法，下列数域P上的,矩阵集合是否构成数域P上的线性空间1) 全体n阶对称矩阵所组成的集合V2) V={ X | AX=0 }，其中A为给定的n阶矩阵例11 按通常数的加法和乘法运算，下列各数集是否构成指定,数域P上的线性空间1) 实数域R是否分别构成实数域、复数域上的线性空间2) 复数域C是否分别构成实数域、复数域上的线性空间例12 按通常函数的运算，下列集合是否构成实数域上的线性,(1) 定义在[a, b]上的全体实连续函数2) 定义在[a, b]上的函数值总为非负数的全体函数线性空间,§2 线性空间的定义和性质,例13 下列集合对指定运算是否构成实数域上的线性空间1) 全体实数组成的二元数组组成的集合，定义运算,(2) 全体n阶矩阵组成的集合，按通常与数的乘法运算，加法,定义为：,线性空间,§2 线性空间的定义和性质,二、线性空间的基本性质,性质1 零元素唯一。

性质2 负元素唯一性质3 0α = Θ ；kΘ = Θ；(-1)α = -α性质4 若kα = Θ，那么k = 0 或者 α = Θ性质5 (k - l)α = kα - lα 性质6 k(α – β) = kα - kβ 线性空间,§3 维数，基与坐标,§3 维数，基与坐标,一、向量组的线性相关性,线性表出线性空间,§3 维数，基与坐标,如果这两个向量组可以互相线性表出，那么这两个向量组是,定义4 设V是数域P上的一个线性空间，如果在数域P中有r个,等价的线性空间,§3 维数，基与坐标,相关结论：,的线性组合线性表出，那么r≤s两个等价的线性无关向量组含有相同个,数的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量,唯一线性空间,§3 维数，基与坐标,例1 在数域R上的4维线性空间R4内，给定向量组,判断此向量组是否线性相关例2 实数域R上的线性空间R2×2中的向量组,判断此向量组是否线性相关例3 在实数域上的连续函数空间，证明下列函数是线性无关的1),(2),(3),线性空间,§3 维数，基与坐标,在实数域上线性无关的充要条件是[a, b],线性空间,§3 维数，基与坐标,二、基和维数,定义5 设V是数域P上的一个线性空间，如果V中向量,量的个数n称为V的维数，记为dimV=n，并称V为n维线性空间。

① 如果线性空间V的基中只含有有限多个线性无关的向量，,则称V为 有限维线性空间② 如果线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则,称V为无限维线性空间满足以下两条：,线性空间,§3 维数，基与坐标,相关性质：,都可它唯一表出2) 设V为n维线性空间，则V中任意n个线性无关向量都是V的,线性表出，而且有一个向量的表示法是唯一的，则V必为n维,线性空间，且这组向量就是它的一组基构成线性空间V的一组基3) 如果线性空间V中每个向量都可由V中n个向量,一组基线性空间,§3 维数，基与坐标,三、坐标,下的坐标为：,线性空间,§3 维数，基与坐标,例6 证明：,在这两组基下的坐标例7 证明：,在这组基下的坐标是n维线性空间Pn中的两组基，并求向量,是线性空间R2×2中的一组基，并求矩阵,线性空间,§4 基变换与坐标变换,§4 基变换与坐标变换,一、基变换和过渡矩阵,它们有如下关系：,为书写方便，引入一种形式写法，把向量,写成向量相乘的形式,线性空间,§4 基变换与坐标变换,那么上式可以改写为：,其中矩阵,线性空间,§4 基变换与坐标变换,向量表达式的运算规律：,两个n阶方阵，那么,(1),(2),(3),线性空间,§4 基变换与坐标变换,基本性质：,的过渡矩阵是A，则 (1) A是唯一的；(2) A是可逆的；(3) 基,性质2 任何一个n阶可逆的方阵都可以作为n维线性空间中的,一组基到另一组基的过渡矩阵。

线性空间,§4 基变换与坐标变换,二、坐标变换,则：,线性空间,§4 基变换与坐标变换,不同基下的坐标有如下关系：,上式称为坐标变换公式或,线性空间,§4 基变换与坐标变换,例1 设,例2 设,线性空间,§4 基变换与坐标变换,例3 设线性空间R2×2中的两组基为,的过渡矩阵，并证明 f (x)∈P[x]n的Taylor公式：,在这两组基下的坐标线性空间,§5 线性子空间,§5 线性子空间,一、子空间的定义及判别,定义7 设W是数域P上线性空间V的一个非空子集，如果W对V,中的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的,一个线性子空间(或简称子空间)定理2 设W是数域P上线性空间V的一个非空子集，如果W对V,中的两种运算是封闭的，那么W就是V的一个子空间推论 数域P上线性空。