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启杰教育三角函数专题启杰教育三角函数专题 一、三角函数的概念一、三角函数的概念 (1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与终边相同的角,连同在内,可构成集合 或 0 |360,kkZ |2,kkZ (2) 象限角：第一象限角的集合 |22, 2 xkxkkZ 第二象限角的集合 |22, 2 xkxkkZ 第三象限角的集合 |22, 2 xkxkkZ 第四象限角的集合 |22, 2 xkxkkZ (3) 角度、弧度的换算关系：（1）,3602 rad 1 180 rad 180 1rad （4）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为 ,圆心角为,半径为,则,扇形的面积l()radrlr 2 11 22 Slrr (5)、三角函数定义： 若是角终边上任意异于的一点,为坐标原点,则,P x yOOOPr sin,cos,tan,cot yxyx rrxy (6)、三角函数在各象限的符号规律：口诀口诀“一全正一全正, , 二正弦二正弦, ,三正切三正切, ,四余弦四余弦. . （）sincostancot 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系： ，tancot1 cos 1 sec ， sin 1 cos tan 1 cot （2）商的关系： （3）平方关系： sincos tan,cot. cossin 22 sin1cos 2、诱导公式 函数 + + + + x sin xcosxtan xcot x sincostancot 2 cossincottan sincostancot 3 2 cossincottan 2sincostancot 例例 11已知_cot0 5 1 cossin），则，（， 解：解： ），（，0 5 1 cossin 两边同时平方，有联立，与 5 1 cossin0 25 12 cossin 求出， 5 3 cos 5 4 sin 4 3 cot 例例 22若，则=（ ） 3 1 6 sin 2 3 2 cos A B C D 9 7 3 1 3 1 9 7 解解：= 2 3 2 cos)2 3 (cos =1+2=.故选 A.)2 3 cos( ) 6 (sin 2 9 7 例例 33已知. 5 1 cossin, 0 2 xxx （1）求 sinxcos x 的值； （2）求的值. xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 解法一解法一：（1）由, 25 1 coscossin2sin, 5 1 cossin 22 平方得 即 . 25 49 cossin21)cos(sin. 25 24 cossin2 2 xxxxxx 又 故 , 0cossin, 0cos, 0sin, 0 2 xxxxx . 5 7 cossinxx （2） x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222 125 108 ) 5 1 2() 25 12 ( )sincos2(cossin xxxx 解法二解法二：（1）联立方程 . 1 cossin , 5 1 cossin 22 x xx 由得将其代入，整理得,cos 5 1 sinxx, 012cos5cos25 2 xx 故 . 5 4 cos , 5 3 sin , 0 2 . 5 4 cos 5 3 cos x x xxx 或 . 5 7 cossinxx （2） xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 22 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 125 108 ) 5 3 5 4 2( 5 4 ) 5 3 ( )sincos2(cossin xxxx 三、两角和与差的三角函数三、两角和与差的三角函数 1、两角和与差的三角函数公式： ,。

sin()sincoscossincos()coscossinsin tantan tan() 1tantan 2,二倍角公式 ； 2 2tan sin22sincos 1tan ； 2 2222 2 1tan cos2cossin2cos11 2sin 1tan 2 2tan tan2 1tan 注意：熟悉以下公式变形 （1）（2）tantantan1tantan 22 1 cos21cos2 sin;cos 22 （3） （4） 22 1cos2cos,1 cos2sin 22 2 1 sinsincos 22 例例 11 在ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C 的大小应为( )3 ABC或D或 6 3 6 6 5 3 3 2 解解：A 例例 22 ABC 中，已知 cosA=，sinB=，则 cosC 的值为（ ） 13 5 5 3 A. B. C.或 D. 65 16 65 56 65 16 65 56 65 16 解解：A 例例 33 已知是第三象限的角，若等于（ ）sincossin 44 5 9 2，则 A. B. C. D. 2 2 3 2 2 3 4 3 2 3 解解：选 A. 解析：解析：sincos 44 (sincos)sincos 22222 2 1 1 2 2 5 9 2 sin sin22 8 9 22 3 2 42243 20 2 2 2 3 kk kkkZ （） sin sin 四、三角函数的图象及性质四、三角函数的图象及性质 函数 sinyx cosyx tanyx 图 象 o 3 2 2 y o o 2 3 2 定义域 RR |, 2 x xkkZ y x 2 2 x 3 2 x y 2 值域 1,1 1,1 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 有界性 sin1x cos1x 无界函数 最小正 周期22 2,2 22 () 3 2,2 22 () kk kZ kk kZ 增区间 减区间 2,2 () 2,2 () kk kZ kk kZ 增区间 减区间 , 22 () kk kZ 增区间 对称轴 () 2 xkkZ ()xkkZ 无对称轴 对称 中心 ,0kkZ ,0 2 kkZ ,0 2 k kZ max min 2 2 1; 2 2 1 xkkZ y xkkZ y 时， 时， max min 2 1; 21 1 xkkZ y xkkZ y 时， 时， (0,0)A 函数 sinyAxcosyAxtanyAx 定义域 RR 22 |, 2 k x xkZ 值域 ,A A,A A R 奇偶性 时是奇函数,kkZ 时是偶 2 kkZ 函数。

时是 2 kkZ 奇函数,时kkZ 是偶函数 时是奇函数kkZ 有界性 sinAxAcosAxA 无界函数 无最值 最值 单 调 区 间 最小正 周期 2 2 4242 , 22 () 42432 ,() 22 kk kZ kk kZ 增区间 减区间 22 , () 22 , kk kZ kk kZ 增区间 减区间 2222 , 22 () kk kZ 增区间 对称轴 22 () 2 k xkZ () k xkZ 无对称轴 对称 中心 ,0 k kZ 22 ,0 2 k kZ 2 ,0 2 k kZ max min 42 2 ; 42 2 k xkZ yA k xkZ A 时， 时， y max min 2 ; (2) k xkZ yA k xkZ A 时， 时，y 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求上的取值范围sin,0, 42 （2）注意求单调区间时的整体意识如：求的单调增区间,在上的单调增区间sin 2 6 yx 0,2 而求单调增区间时,先化成的形式,再求的单调递sin2 6 yx sin 2 6 yx sin 2 6 yx 减区间 （3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时在对称轴处取最值。

sincosyxyx、 五、图象变换：五、图象变换：函数的图象可由的图象做如下变换得到sin0,0yAxAsinyx 1、先相位变换 周期变换 振幅变换 ：把图象上所有的点向左（） 或向右（）sinyxsinyxsinyx00 平移个单位 ：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩sinyxsinyx01 无最值 最值 单 调 区 间 短（ ）到原来的 倍,纵坐标不变1 1 ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短sinyAxsinyx1A （）到原来的 A 倍,横坐标不变01A 2、先周期变换 相位变换 振幅变换 ：把图象上各点的横坐标伸长（）或缩短（sinyxsinyxsinyx01 ）到原来的 倍,纵坐标不变1 1 ：把图象上所有的点向左（）或向右（）平移sinyxsinyx00 个单位. ：把图象上各点的纵坐标伸长（）或缩短（sinyAxsinyx1A ）到原来的 A 倍,横坐标不变01A 3、 注意：（1）要会画在一个周期的图象：（用“五点法”作sinyAx)sin(xAy 图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描)0, 0(Ax 2 , 0 2 , 2 3 ,xy 点作图). 例例 11 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） 6 2sin xyxy2cos A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移 6 3 6 3 解解：B 例例 2 2函数为增函数的区间是 ( ), 0)(2 6 sin(2 xxy A. B. C. D. 3 , 0 12 7 , 12 6 5 , 3 , 6 5 解解： C 例例 33函数的最大值为_.f xxxx( )sin coscos34 2 解解：f xx x x( )sin cos sin() 3 2 24 12 2 5 2 22 当时，取最大值sin()( )21 5 2 2 1 2 xf x 例例 44 函数的部分图像是（ ）yxx cos y y y y O O x O x x O x A B C D 解：解：选 D. 提示：提示：显然CAxxy、为奇函数，故排除cos BDyxx yxx 选，故弃时，纵坐标且即当横坐标 ，判断出相应的且令 000 000 例例 55 当 22 3xyxx时，函数的（）sincos A. 最大值为 1，最小值为-1 B. 最大值为 1，最小值为 1 2 C. 最大值为 2，最小值为 D. 最大值为 2，最小值为21 解解：选 D 解析：解析：，而yxxxsincossin()32 3 22 x xx 36 5 63 1 2 1，故，sin() yy maxmin 21， 高考试卷数学三角试题汇集高考试卷数学三角试题汇集 选择题选择题 1.（北京卷）（北京卷）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos （C）cos(+)sinsin （D）cos(+)coscos 2.（北京卷）（北京卷）函数f(x)= 1 cos2 cos x x （A）在上递增，在上递减0,),(, 22 33 ,),(,2 22 （B）在上递增，在上递减 3 0,), ,) 22 3 (, ,(,2 22 （C）在上递增，在上递减 3 (, ,(,2 22 3 0,), ,) 22 （D）在上递增，在上递减 33 ,),(,2 22 0,),(, 22 3.（全国卷（全国卷）当时，函数的最小值为 2 0 x x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 （A）2（B）（C）4（D）3234 4.（全国卷（全国卷）在中，已知，给出以下四个论断： ABCC BA sin 2 tan 1cottanBA2sinsin0BA1cossin 22 BA 其中正确的是CBA 222 sincoscos （A）（B）（C）（D） 5.（全国卷（全国卷）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期。