数学分析-第十一讲-幂级数.doc

第十一讲 幂级数§11.1 幂级数 和 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一、知识结构1、幂级数的收敛域定理1（Abel定理）若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证明 收敛, {}有界.设||, 有|,其中 ..定理1的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构：幂级数收敛域的结构是关于点的对称区间，的收敛域的结构是关于点的对称区间.定义幂级数的收敛域长度的一半为收敛半径R，收敛半径 R的求法.定理2 对于幂级数, 若, 则（ⅰ）时, ; （ⅱ）时;（ⅲ） 时. 证明 , (强调开方次数与的次数是一致的). ……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.2、幂级数的一致收敛性定理3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证明 , 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法 幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.定理4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或 )收敛,则幂级数在区间( 或 )上一致收敛 .证明 . 收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛 .3、幂级数的性质（1）逐项求导和积分后的级数设①， ②，①和②仍为幂级数. 我们有定理5 幂级数和与有相同的收敛半径注: ①和②与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数.（2）幂级数的运算性质:定义1 两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.定理6 .定理7 设幂级数和的收敛半径分别为和, , 则（ⅰ） , — 常数，.（ⅱ） +, .（ⅲ） ()(), , .（3）幂级数的和函数的性质定理8 设在(内. 则（ⅰ）在内连续;（ⅱ）若级数或收敛, 则在点( 或 )是左( 或右 )连续的;（ⅲ）对, 在点可微且有 ;（ⅳ）对, 在区间 上可积,且 .注 当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有.推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有,……，.注 由推论1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2 若, 则有二、解证题方法例1 求幂级数的收敛域.( )例2 求幂级数的收敛域. ( )例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ (); ⑵ ().例4 求级数的收敛域(). 例5 验证函数满足微分方程 . 验证给幂级数的收敛域为.解 因为，所以, 代入得.因为，所以的收敛域为.例6 将 ,,展成幂级数, 并求收敛域.解 由于, .所以, . . ,.例3（东南大学2005年）设在处条件收敛，求其收敛半径.解 因为在处条件收敛，所以收敛，而发散. 进而当时级数发散,故其收敛半径为.例4(北京化工大学2003年)若,, 证明: 的收敛半径.解 由于, 则, 所以的收敛半径例5(北京师范大学2003年)求幂级数()的收敛域.解 由于, 所以收敛半径. 研究级数的敛散性. 当时, 由于, 且收敛, 所以收敛, 故收敛域. 当时, , 所以发散,由于当充分大时, 单调递减趋向于,所以收敛,故收敛域为, 综上所述, 当时,收敛域为,当时, 收敛域为.例6(天津工业大学2005年)求幂级数的收敛域.解 由于, 又,故收敛半径.由积分判别法知, 当时,发散,而,所以发散, 由Leibniz判别法知当时,收敛. 故的收敛域为.例7(复旦大学2001年)确定由幂级数收敛点全体构成的收敛域.解 由于,所以收敛半径为,显然当时, 发散. 下面研究当时.由于,所以当时,是单调递减, 即时是单调递减趋于的数列,从而收敛,故得收敛域为.例8(大连理工大学2006年)求的收敛域.解 因为, 当时, 不趋于（）, 所以当时, 为交错级数,所以收敛. 故的收敛域为.例9(上海理工大学2003年)求级数的收敛域.解 令, 对辅助函数计算收敛半径,当时, 级数成为,由Abel判别法可判定其收敛; 当时，级数成为,由p-级数判别法可判定其发散，故辅助幂级数的收敛域为，原广义幂级数收敛域为， 即.例10(华中科技大学2007年)设在上二阶可导,且满足和,令, 求收敛域.解 因为, 所以.从而.于是由L’Hospital法则知,所以收敛且当充分大时，有成立，从而易知，所以的收敛半径为1. 又因为, 且收敛，所以与（）.故的收敛域为.练习[1](兰州大学2005年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[2](兰州大学2006年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[3](西安电子科技大学2004年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[4](电子科技大学2003年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[5](华南理工大学2006年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[6](北京交通大学2003年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[7](哈尔滨工业大学2006年)求幂级数的收敛域. (答案: 收敛域)[8](北京交通大学2004年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[9] (华东师范大学2004年)求幂级数的收敛域及和函数. (答案: 收敛域,和函数)[10](东南大学2006年)求幂级数的收敛域及和函数.(答案: 收敛域,和函数)§ 函数的幂级数展开一、知识结构1、函数的幂级数展开（1）Taylor级数 设函数在点有任意阶导数，则Taylor公式：.余项的形式: Peano型余项: , Lagrange型余项: 在与之间，或 .积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有 .Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得 ,称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导, 就可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin级数, 即级数.自然会有以下问题: 对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在点的某邻域内, 函数和其Taylor级数是否相等呢 ?（2） 函数与其Taylor级数的关系实例 函数在点无限次可微. 求得,. 其Taylor级数为 .该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点, 是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例如，函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在外, 函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章定理8的推论2（和函数的性质）知: 在点的某邻域内倘有, 则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散, 即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛, 和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.⑵ 若幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂级数就是函数在点的Taylor级数.于是, 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.（3）函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成TaylorTaylor级数为函数在点的Taylor在点= 0 时, 称Taylor展开式为MaclaurinMaclaurin展开式.(4)可展条件定理1(必要条件) 函数在点可展在点有任意阶导数.定理2(充要条件) 设函数在点在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对, 有.其中是Taylor公式中的余项.证明 把函数展开为阶Taylor公式, 有 .定理3(充分条件) 设函数在点有任意阶导数, 且导函数所成函数列一致有界, 则函数可展.证明 利用Lagrange型余项, 设 , 则有.例3 展开函数 (ⅰ)按幂; (ⅱ) 按幂.解 , , .所以,(ⅰ) .可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身. (ⅱ) .2、 初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式，为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.直接展开:（1） . ( 验证对R ，在区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). .（2）, ., .可展是因为在内一致有界.（3）二项式 的展开式:为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;为不是正整数时, 可在区间内展开为对余项的讨论可利用Cauchy余项.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.):当时, 收敛域为;当时, 收敛域为;当时, 收敛域为.利用二项式的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如，取,得，.取时, 得, .间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.（4）. .事实上, 利用上述的展开式, 两端积分, 就有 ,.验证知展开式在点收敛, 因此, 在区间上该展开式成立.（5） .由. 两端积分,有 验证知上述展开式在点收敛, 因此该展开式在区间上成立.二、解证题方法例1 展开函数.解 ，例2 展开函数.解 .例3(南京航空航天大学2004年)下列函数中不能在处展开成幂级数是:(1) (2),(3),(4).解 幂级数其实是Taylor展开式的推广，所以要求函数在处阶可导，阶导数存在，显然（1）在处处不可导，所以不能展成幂级数.例4(中国地质大学2005年)将函数展开成的幂级数，并求其收敛域.解 由初等函数的幂级数展开知, , 所以,其收敛域为.例5(北京交通大学2004年)将函数在处展开成幂级数.解 ,从而, 于是.例6(华东师范大学2006年)求的Maclaurin级数展开式.解 因为,所以, 从而.例7(武汉理工大学2004年)将函数展开成幂级数.解 .例8(上海理工大学2005年) 将展开为Maclaurin级数.解 因为,且, 所以,, 进而.例9(中南大学2004年)求在处的幂级数展开式及收敛半径.解 因为, , 有.例10(浙江大学2005年)(1)将展开成幂级数;(2)利用(1)证明:; (。