南朝数学家祖冲之传.doc

南朝数学家祖冲之传家世与生平祖冲之（429—500），是南北朝时期杰出的数学家、天文学家和机械发明家字文远，范阳郡遒县（今河北涞源）人，刘宋元嘉六年（429）生于建康（今江苏南京）曾祖父祖台之，东晋时曾任侍中、光禄大夫等要职祖父祖昌任刘宋大匠卿，是主管土木工程的官员父亲祖朔之为奉朝请，学识渊博，很受时人敬重祖氏家庭的历代成员有较高的科学素养，大都对数学和天文历法有所研究祖冲之自幼受到科学气氛的薰陶和良好的家庭教育，青年时代曾到华林学省专门从事学术研究后来步入仕途，先后在刘宋朝和南齐朝担任南徐州（今江苏镇江）从事史、公府参军、娄县（今江苏昆山）令、谒者仆射、长水校尉等官职任职期间，曾写过《安边论》等讨论屯田、垦殖等方面应采取的政策的政论性文章晚年，齐明帝曾令他巡行四方，兴造大业，以利百姓，但因发生战争而作罢这时他已是风烛残年，老死将至，不久后即于南齐永元二年（500）逝世，享年七十二岁　　祖冲之从很小的时候起便对数学和天文学产生了浓厚的兴趣他“专功数术，搜炼古今”，广泛收集从上古时代起直到6 世纪他生活的时代止的各种文献资料，进行了认真的考察他还“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，在公余之暇坚持进行天文观测和数学计算，积累了大量的新资料。

经过深入研究，他终于在数学、天文学和机械制造、交通工具等领域，获得许多极有价值的新成果，攀登上了他生活时代的科学技术高峰关于圆周率的计算祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值在中国，据公元1 世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝ 3.1547 ≈ ，又在球体积计算中取用π＝ ≈ 三国时东吴天文学3.1466 3.1622 10家王蕃在浑仪论说中取用π＝ ≈ 以上这些圆周率近似值，比起.1556古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 还是世界上最早的记录但这些数值大多是经验结果，并没有可靠10的理论依据在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。

他所得到的圆周率值π＝ ＝ 与π＝503.14＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值3. 和过剩近似值3.，π的真值在这两个近似值之间，即3.＜π＜3. 精确到小数7 位这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—kash1 16 F.Vi ta 1540 1603) )）和世纪法国数学家韦达（ è ， — ）所超过关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和24576 边形的面积，这样，就要对9 位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。

为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝227≈ ，密率π＝ ≈ 这两个数值都是π的渐近分数其3.14 3.13中约率，刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过密率是π的分母小于的最佳近似分数，则为祖冲之首创关于密率是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论在欧洲，π＝ 是世纪由德国数学家奥托（V.Otto ，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献关于球的体积公式及其证明祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于＝ V d9163（d 为球的直径），是一个误差很大的近似公式东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球体积，但没有得到正确的结果。

魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”，好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）因此，只要求出牟合方盖体积，就可推算出球体积然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度以后又经过近200 年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于2 3d 3（ 为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式＝ π ， d V d 3 16完全解决了球体积的计算问题由于当时用圆周率，所以他们的球体227积公式为＝ 祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了V11213 d一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。

这个原理现常被称为“祖氏公理”在西方，这个原理也是一千年后才由17 世纪意大利数学家卡瓦列里（F.B.Cavalieri，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步　　《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了对天文历法的研究祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了经过多年的实际观测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合例如按《元嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差3 度，冬至和夏至时刻已差1 天，五星出没时间差40 天，等等。

这种情况显然是必须加以改变的因此，他着手编制了一部新的历法，即后世所称的《大明历》祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在《大明历》和为《大明历》所写的“驳议”之中按祖冲之的自述，《大明历》“改易之意有二，设法之情有三”所谓“改易”是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革，这是中国历法史上的重大进步，对后世产生了深远的影响所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件，如甲子年，十一月初一为甲子日，日月合璧，五星联珠等，这在数学上对于同余式解法的研究有所推动，但对于历法的发展并没有太大的意义① 《九章算术》少广章开立圆术李淳风注　　① “负”字原著为“员”，此据钱宝琮主编《中国数学史》校改　　　　祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响　　冬至时刻太阳在黄道上的位置叫做冬至点中国古代的天文学家最初认为，太阳在黄道上运行，从冬至点开始经过一个回归年又回到原来的冬至点，也就是说，冬至点是固定不变的实际上，冬至点在恒星间的位置并不是固定不变的，它在星空中有极缓慢的移动，每年的移动值就叫做岁差早在战国时期，中国天文学家把冬至点确定在牵牛初度，如当时行用的一种历法《颛顼历》，其冬至点距牛宿距星的赤道宿度不到1 度。

西汉末年刘歆发现当时的冬至点已经不在牵牛初度，而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近东汉天文学家贾逵、编、李梵、刘洪等，通过实际观测和推算，进一步肯定了冬至点位置的变化，并指出当时的冬至点既不在牵牛初度，也不在建星附近，而是在斗21 度但他们并没有深究其中的规律，也没有认识到这一变化对于历法计算的影响魏晋以后，天文观测日趋精密，对岁差现象的探讨也有所前进，其中最突出的就是东晋天文学家虞喜虞喜认识到经过一个回归年之后，太阳并未在天上走一周天而回到原处，而是“每岁渐差”，明确指出了岁差现象，并提出“天自为天，岁自为岁”的新观点他还给出了50 年差1度的岁差值其后何承天又给出了100 年差1 度的岁差值但虞喜和何承天还都没有在历法中考虑到岁差祖冲之不仅肯定了岁差现象的存在，指出“冬至所在，岁岁微差”，而且最早把岁差作为一个重要因素应用到历法计算中去，这对于提高所编制的历法的精度，是有重要作用的，并为后世历家所遵循据《隋书·律历志》记载，祖冲之经实测确定当时冬至点已移到斗15度，经与后秦姜岌的观测值比较，发现不到百年冬至点已移动了2 度，因而定岁差为45 年11 月差1 度，并用于历法计算根据现代观测，冬至点大约每年沿黄道西移50.2 秒，换算成赤经则为大约78 年西移1°，由此可知，虞喜、何承天与祖冲之的岁差值与实际值相比，还有较大的误差。

尽管如此，岁差现象的发现，将太阳在黄道上运行一周的恒星年与反映四季变化周期的回归年这两个概念区别开来，并将岁差应用到编制历法中去，仍是中国历法史上具有划时代意义的重大进步　　祖冲之《大明历》中另一项重要贡献是关于闰周的改革中国古代天文学家长期采用19 年7 闰的闰法，用以调整回归年与朔望月的关系北凉天文学家赵■首先提出600 年间置入221 个闰月的新闰周但直到南朝何承天编制《元嘉历》时，仍未能接受改革闺周的新思想祖冲之认为19 年7 闰确实不够精密，因而在他所编制的《大明历》中大胆地采用了改革闰周的思想，提出391 年置入144 个闰月的新闺周，突破了已经沿袭千年的闰法祖冲之的这一数据，在相当长的时间内都是诸家历法中最好的结果除引进岁差和采用新闰周外，祖冲之在《大明历》中还提出了交点月的概念并给出了交点月的数值交点月的发现对于推算日食和月食发生的时间和位置等都有很重要的作用根据《大明历》的数据推算，其交点月长度为27.21223 日，与今测值27.21222 日仅差十万分之一日祖冲之还改进了前代关于木星公转周期的数值，得出木星（当时叫岁星）每84 年超辰一次的结论，这相当于求出木星公转周期为11.858 年，与今测值相同。

他所采用的其他天文数据也都是相当精确的，如近点月为27. 日，与今测值相差不到十万分之十四日；回归年长度为365.2428 日，与今测值只差万分之六日；五。