随机变量独立性的探讨-应用数学学士论文.doc

学 士 学 位 论 文系 别: 应用数学系 学科专业: 数学与应用数学 姓 名: 段晓康 学 号: 2012064139 运 城 学 院二 零 一 四 年 五 月随机变量独立性的探讨系 别： 应用数学系 学科专业： 数学与应用数学 姓 名： 段晓康 指导教师： 冯变英 运 城 学 院二 零 一 四 年 五 月 随机变量独立性的探讨摘 要 随机变量的独立性是概率论与数理统计中最基本的概念之一，它在实际应用中十分广泛，所以，关于随机变量独立性的判断成为概率论一个重要的研究课题，不少文献对随机变量独立性的问题进行了研究.本文首先介绍了随机变量独立性的定义，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法，同时得出了一些相关的推论，并对其运用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合.关键词 独立性 离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 方差Discussion on the Independence of Random VariablesAbstract Independence of random variables is one of the most basic concepts of probability theory and mathematical statistics, in its practical application is very extensive, so, about the independence of random variables in probability judgment has become an important research topic, a lot of literature on the independence of random variables in the study. This paper first introduces the definition independence of random variables, and the independence of the discrete random variables and continuous random variables are presented for the two discriminant method, and draw some relevant inferences, and its application is illustrated. Finally the article for the integration of some applications of the independence of random variables and random variables in the number of features in.Keywords independence discrete random variables continuous random variables mathematical expectation variance目 录引 言 .............................................................................................................................1第 1 章 随机变量独立性的定义 .................................................................................11.1 随机事件独立性的定义 ..................................................................................11.2 随机变量独立性的定义 ..................................................................................3第 2 章 随机变量独立性的判定 .................................................................................42.1 离散型随机变量独立性的判定 .......................................................................42.2 连续性随机变量独立性的判定 .......................................................................7第 3 章 独立随机变量的性质 ...................................................................................103.1 数学期望性质 .................................................................................................103.2 方差性质 .........................................................................................................113.3 协方差性质 .....................................................................................................123.4 相关系数性质 .................................................................................................12总 结 ...........................................................................................................................13致 谢 ...........................................................................................................................13参考文献 .....................................................................................................................141引 言概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.对于现有的知识水平，掌握好这个问题，对于培养抽象概括能力、逻辑推广能力、空间想象能力和自学能力，以及研究这个课题在实际中的应用价值的体现，都有很大的帮助.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的.随机变量独立性的研究因而倍受重视.随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的时期.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[1]中胡纲、张素霞对随机变量独立性存在的一些易错点进行了分析整合;文献[2]中佟毅对随机变量独立性的相关内容进行了论述.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论上还是实践中都有着重要意义.但不幸的是，到目前为止人们还没有找到有关随机变量独立性判定的简便有效的方法.本文将在此基础上对随机变量独立性做详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用做详细的介绍.第 1 章 随机变量独立性的定义1.1 随机事件独立性的定义2独立性是概率中一个重要的概念，利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性.1.1.1 两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件 为“第一A颗骰子的点数为 1”，记事件 为“第二颗骰子的点数为 4”.则显然 与 的BB发生是相互不影响的.另外，从概率的角度看，事件 的条件概率 与无条件概率ABP/的差别在于：事件 的发生改变了事件 发生的概率，也即事件 对事AP件 有某种“影响”.如果事件 与 的发生是相互不影响的，则有B,它们都等价于B/P/PA另外对 ,或 ,上式仍然成立.为此，我们用上式作为两个事件0PA相互独立的定义.定义 1.1 对任意两个随机事件 与 ，如果有 成立，BBPA则称事件 与 相互独立，简称 与 独立.否则称 与 不独立或相依.B1.1.2 多个事件的相互独立性首先研究三个事件的相互独立性，对此我们给出以下的定义 1.2 设 是三个事件，如果有CBA,,,CPBA则称 两两独立.若还有CBA, ,P则称 相互独立.,由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.3定义 1.3 设有 个事件 , 对任意的 如果以n1A,2n， ,1nkji下等式均成立 ,,,2121 nnkjiKJij APAP则称此 个事件 , 相互独立.n1An,2，从上述定义可以看出， 个相互独立的事件中任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的.1.2 随机变量独立性的定义以随机事件的独立性为基础，我们再来定义随机变量的独立性.1.2.1 二维随机变量的独立性与 是两个随机变量，若对任意区间 及 ，事件XY1,ba2,与事件 都相互独立，则称随机变量 与 相互独立，11ba22bYaXY简称 与 独立；否则，就成 与 不独立.所以我们给出下面定义：X定义 1.4 设 是二维随机变量，如果对任意的实数 总有, yx,，yYPxyxP,即，FFYX,则称随机变量 相互独立.YX,1.2.2 维随机变量的独立性n定义 1.5 设 维随机变量 的联合分布函数为nnX,,21=nxF,21,,21nxXxXP其边际分布函数为4=ixF;,21,nixXPi 如果对任意 个实数 ，有nn,21,,121inixFx则称 个随机变量 相互独立.nnX,,21第 2 章 随机变量独立性的判定2.1 离散型随机变量独立性的判定2.1.1 判别法一用随机变量独立性的定义判别，是对一系列随机事件的独立性做出判定，进而判定随机变量的独立性.这是随机变量独立性的本质回归.定理 2.1 设 为二。