2023年河北考研数学二试题(含答案).docx

烦恼多多少少，放松必不可少；给自己一个微笑，迎来的将是一片美好！2023年河北考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 的斜渐近线为( )A. B. C. D.【答案】B.【解析】由已知，则，，所以斜渐近线为.故选B.2. 函数的一个原函数为（ ）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知，即连续.所以在处连续且可导，排除A，C.又时，，排除B.故选D.3.设数列满足,当时( ).A.是的高阶无穷小 B.是的高阶无穷小C.是的等价无穷小 D.是的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在中，，从而.又，从而，所以.故选B.4. 若的通解在上有界，这（ ）.A. B.C. D.【答案】D【解析】微分方程的特征方程为.①若 ，则通解为；②若，则通解为；③若，则通解为.由于在上有界，若，则①②③中时通解无界，若，则①②③中时通解无界，故.时，若 ，则，通解为，在上有界.时，若，则，通解为，在上无界.综上可得，.故选D.5. 设函数由参数方程确定，则( ).A.连续，不存在 B.存在，在处不连续C.连续，不存在 D.存在，在处不连续【答案】C【解析】，故在连续..时，；时，；时，，故在连续.,,故不存在.故选C.6. 若函数在处取得最小值，则( )A. B. C. D.【答案】A.【解析】已知，则，令，解得故选A.7.设函数.若没有极值点,但曲线有拐点,则的取值范围是( ).A. B. C.[1,2) D. 【答案】C.【解析】由于没有极值点,但曲线有拐点，则有两个相等的实根或者没有实根，有两个不相等的实根.于是知解得.故选C.8. 为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，故.故选B.9. 的规范形为A. B. C. D.【答案】B【解析】，二次型的矩阵为， ，，故规范形为，故选B.10.已知向量组 ，若 既可由 线性表示，又可由线性表示，则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，，解得，故.故选D. 二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当时，与是等价无穷小，则________.【答案】【解析】由题意可知，，于是，即，从而.12. 曲线的孤长为_________.【答案】【解析】曲线的孤长为.13. 设函数由方程确定，则_________.【答案】【解析】将点带入原方程，得.方程两边对求偏导，得，两边再对求偏导，得，将代入以上两式，得，.14. 曲线在对应点处的法线斜率为_________.【答案】【解析】当时，.方程两边对求导，得，将，代入，得.于是曲线在对应点处的法线斜率为.15. 设连续函数满足，，则_________.【答案】【解析】.16. 有解，其中为常数，若 ，则________.【答案】 【解析】方程组有解，则 ，故.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距，(Ⅰ)求；(Ⅱ)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为，令，则切线在轴上的截距为，则，即，解得，其中为任意常数.又，则，故.(Ⅱ)设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为.令，则；令，则.故切线与两坐标轴所围三角形面积为，则.令，得驻点.当时，；当时，，故在处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为.18.（本题满分12分）求函数的极值.【解】由已知条件，有，.令，解得驻点为，其中为奇数；，其中为偶数.，，.在点处，其中为奇数，，，，由于，故不是极值点，其中为奇数.在点处，其中为偶数，，，，由于，且，故为极小值点，其中为偶数，且极小值为.19.（本题满分12分）已知平面区域，（1）求平面区域的面积.(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积.【解】(1).(2) .20.（本题满分12分）设平面区域位于第一象限，由曲线，与直线围成，计算.【解】.21.（本题满分12分）设函数在上有二阶连续导数.（1）证明：若，存在，使得；（2）若在上存在极值，证明：存在，使得.【证明】(1)将在处展开为，其中介于与之间.分别令和，则，，，，两式相加可得，又函数在上有二阶连续导数，由介值定理知存在，使得，即.(2)设在处取得极值，则.将在处展开为，其中介于与之间.分别令和，则，，，，两式相减可得，所以，即.22.（本题满分12分）设矩阵满足对任意的均有.(1)求(2)求可逆矩阵与对角阵，使得.【解】(1)由，得，即方程组对任意的均成立，故.(2),,特征值为.,;,;,,令 ，则.。