2016年考研数学（二）真题及答案解析.pdf

2016 年考研数学（二）真题与解析 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【详解详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知 所以的可能取值范围是，应该选（B） 2下列曲线有渐近线的是 （A） （B）（C） （D） 【详解详解】对于，可知且，所以有斜渐近线 应该选（C） 3设函数具有二阶导数，则在上（设函数具有二阶导数，则在上（ ） （A）当时，）当时， （B）当时，）当时， （C）当时，）当时， （D）当时，）当时， 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法 【详解详解 1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然就是联接两点的直线方程就是联接两点的直线方程故当时，时，曲线是凹的，也就是，应该选（D） 【详解详解 2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当 0 x)(lnx21 11)cos(x x ),( 2),( 21),(121),(210 xx221)(ln 211211xx)cos( 2 121 ),( 21xxysin xxysin 2xxy1sin xxy12sin xxy1sin 1 xyxlim01 xxyxxsinlim)(limxy )(xfxfxfxg)()()(110 , 100 )( xf)()(xgxf 0 )( xf)()(xgxf 0 )(xf)()(xgxf 0 )(xf)()(xgxf ,baxfxfxg)()()(110 )(,(),(,(1100ff0 )(xf)()(xgxf ,baxfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 010 )()(FF)()(xfxF 全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 1 页，共 10 页时，时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D） 4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（上对应于的点处的曲率半径是（ ） （）（）(）（） 【详解详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径 本题中，所以， 对应于的点处，所以对应于的点处，所以，曲率半径 应该选（C） 5设函数，若，则（ ） （） （）（）（） 【详解详解】注意（1）， （2） 由于所以可知， 6设在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ） （A）的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部； 0 )(xf010 )()()(FFxF0 )()()(xgxfxF)()(xgxf 14722ttytx,1 t5010100101010105)(,(xfx321)(yyK KR1 422 tdtdytdtdx,tttdxdy21242 3222122tttdxyd 1 t13 ,yy10101132 )(yyK10101 KRxxfarctan)( )( )( xfxf 220 xx lim1322131211xxf )( )(arctan,33310 xoxxxx 时时)( )( xfxf xxxxffarctan)()( 211 22)(arctanarctanxxx 3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim ),(yxu02 yxu02222 yuxu),(yxu),(yxu全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 2 页，共 10 页 （C）的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上； （D）的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上 【详解详解】 在平面有界闭区域 D 上连续，所以在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上 所以应该选（A） 7行列式等于 （A） （B）（C） （D） 【详解详解】 应该选（B） 8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解详解】若向量线性无关，则 （，），对任意的常数，矩阵的秩都等于 2，所以向量，一定线性无关 而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A） ),(yxu),(yxu),(yxu),(yxu),(00yx0 yuxuxyuyxuByuCxuA 222222,02 BAC),(yxu),(yxudcdcbaba000000002)(bcad 2)(bcad 2222cbda 2222cbda 20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 321 ,lk,31 k 32 l 321 ,321 ,31 k 32 l Klk),(),(3213211001 lk,K31 k 32 l 000010001321 ,lk,31 k 32 l 321 ,全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 3 页，共 10 页二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9 【详解】【详解】 10设为周期为 4 的可导奇函数，且，则 【 详 解详 解 】 当时 ， 由可 知， 即；为周期为 4 奇函数，故 11设是由方程确定的函数，则 【 详 解详 解 】 设， 当时，所以 12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 【详解详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，则在点处的切线方程为，即 13一根长为 1 的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 【详解详解】质心坐标 14 设 二 次 型的 负 惯 性 指 数 是 1 ， 则的 取 值 范 围 12521dxxx 11122832421212141521 )(|arctan)(xxdxdxxx)(xf 2012,),()( xxxf )(7f 20, xCxxdxxxf 2122)()(00 )(f0 Cxxxf22 )()(xf1117 )()()(fff),(yxzz 4722 zyxeyz 2121,|dz4722 zyxezyxFyz),(1222122 yzzyzyxyeFyzeFF,21 yx0 z21 zxFFxz21 zyFFyz 2121,|dzdydx2121 L rL 22 ,),(r sinsin)(coscos)(ryrx2 20 yx, 222 |sincoscossin|dxdyL 22 ,),(r)(022 xy .22 xyx 10,122 xxx)( x201135121112210210231010 dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()( 3231222132142xxxaxxxxxxf ),(a全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 4 页，共 10 页是 【详解详解】由配方法可知 由于负惯性指数为 1，故必须要求，所以的取值范围是 三、解答题 15 （本题满分 10 分） 求极限 【分析】 先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限 【详解详解】 16 （本题满分 10 分） 已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值 【详解详解】 解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得， 即 令，得，且可知； 当时，可解得，函数取得极大值； 当时，可解得，函数取得极小值 17 （本题满分 10 分） 232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),( 042 aa 22, )ln()(limxxdttetxtx1112112 21121111111222121122112 xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim)(xyy yyyx 12202 )( y)(xy2211xdxdyy )(Cxxyy 33313102 )( y32 C32313133 xxyy01122 yxdxdy1 x3222222211212)()()(yxyyxdxyd 1 x1 y01 y1 y1 x0 y02 y0 y全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 5 页，共 10 页设平面区域计算 【详解详解】由对称性可得 18 （本题满分 10 分） 设 函 数具 有 二 阶 连 续 导 数 ，满 足 若，求的表达式 【详解详解】 设，则， ; ； 由条件， 可知 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程 对应齐次方程的通解为： 其中为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为 故非齐次方程通解为 004122 yxyxyxD.,| ),( Ddxdyyxyxx)sin(22 432112121212022222222 DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin()(uf)cos(yefzx xxeyezyzxz222224)cos( 0000 )( ,)(ff)(ufyeuxcos )cos()(yefufzx yeufyeufxzeufxzxxyxcos)( cos)(,)( cos 2222yeufyeufyzyeufyzxxxcos)( sin)(,sin)( 2222xxxeyefeufyzxz222222)cos()( xxeyezyzxz222224)cos( uufuf )()(4uueCeCuf2221 )(21CC ,uy41 *ueCeCufuu412221 )(全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 6 页，共 10 页将初始条件代入，可得 所以的表达式为 19 （本题满分 10 分） 设函数在区间上连续，且单调增加，证明： （1） ； （2） 【详解详解】 （1）证明：因为，所以 即 （2）令， 则可知，且， 因为且单调增加， 所以从而 ， 也是在单调增加，则，即得到 20 （本题满分 11 分） 设函数，定义函数列 ， 设是曲线，直线所围图形的面积求极限 【详解详解】 ， 0000 )( ,)(ff16116121 CC,)(ufueeufuu4116116122 )()(),(xgxf ba.)(xf10 )(xg baxaxdttgxa,)( 0 badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(10 )(xg baxdtdttgdxxaxaxa,)( 10 baxaxdttgxa,)( 0 xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(0 )(aF xadttgafxgxgxfxF)()()()()( ,)(axdttgxa 0)(xf)()()(xfaxafdttgafxa 0 )()()()()()()()()( xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa bax, )(xF ba,0 )()(aFbF badttgaadxxgxfdxxfba)()()()( 101,)( xxxxf)()(xfxf 1)()(xffxf12 ),()(,xffxfnn1 nS)(xfyn 01 yx,nnnS limxxxxxxxfxfxfxxxf21111111121 )()()(,)(,)(xxxf313 全国硕士研究生入学统一考试数学（二）第 7 页，共 10 页利用数学归纳法可得 ， 21 （本题满分 11 分） 已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积 【详解详解】 由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数 又因为，从而可知， 得到 令，可得且当时， 曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为 22 （本题满分 11 分） 设，E 为三阶单位矩阵 （1） 求方程组的一个基础解系； （2） 求满足的所有矩。