椭圆、双曲线、抛物线ppt课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,2,讲 椭圆、双曲线、抛物线,1.,圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,名称,椭圆,双曲线,抛物线,定义,|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,a,(2,a,|,F,1,F,2,|),|,PF,1,|-|,PF,2,|,=,2,a,(2,a,b,0),(,a,0,b,0),y,2,=2,px,(,p,0),图象,几,何,性,质,范围,顶点,(0,0),对称性,关于,x,轴，,y,轴和原点对称,关于,x,轴对称,焦点,（,c,0,）,轴,长轴长,2,a,短轴长,2,b,实轴长,2,a,，,虚轴长,2,b,离心率,e,=1,准线,通径,渐近线,2.,椭圆中的最值,F,1,，,F,2,为椭圆,=1(,a,b,0),的左、右,焦点，,P,为椭圆的任意一点，,B,为短轴的一个端,点，,O,为坐标原点，则有,（,1,）,|,OP,|,b,a,.(2)|,PF,1,|,a,-,c,a,+,c,.,（,3,）,|,PF,1,|,PF,2,|,b,2,a,2,.(4),F,1,PF,2,F,1,BF,2,.,（,5,）,=,b,2,tan (=,F,1,PF,2,).,（,6,）焦点弦以通径为最短,.,3.,双曲线中的最值,F,1,，,F,2,为双曲线,(,a,0,b,0),的左、,右焦点，,P,为双曲线上的任一点，,O,为坐标原点，,则有,（,1,）,|,OP,|,a,.,（,2,）,|,PF,1,|,c,-,a,.,（,3,）,(=,F,1,PF,2,).,4.,抛物线中的最值,点,P,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),上的任一点，,F,为焦点，,则有,:,（,1,）,|,PF,|.,（,2,）焦点弦,AB,以通径为最值，即,|,AB,|2,p,.,（,3,）,A,（,m,n,）为一定点，则,|,PA,|+|,PF,|,有最小值,.,5.,双曲线的渐近线,（,1,）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解,因式可得,.,（,2,）用法：,可得 或 的值,.,利用渐近线方程设所求双曲线的方程,.,6.,直线与圆锥曲线的位置关系,（,1,）相离；（,2,）相切；（,3,）相交,.,特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直,线与双曲线相交且只有一个公共点,.,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线,与抛物线相交且只有一个公共点,.,一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程,例,1,如图所示，椭圆 上的点,M,与椭,圆右焦点,F,1,的连线,MF,1,与,x,轴垂,直，且,OM,（,O,是坐标原点）与椭,圆长轴和短轴端点的连线,AB,平行,.,（,1,）求椭圆的离心率；,（,2,）,F,2,是椭圆的左焦点，,C,是椭圆上的任一点，证明：,F,1,CF,2,（,3,）过,F,1,且与,AB,垂直的直线交椭圆于,P,、,Q,，若,PF,2,Q,的面积是 ，求此时椭圆的方程,.,思维启迪,（,1,）从,OM,AB,入手，寻找,a,，,b,，,c,的关,系式，进而求出离心率,.,（,2,）在焦点三角形,F,1,CF,2,中，用余弦定理求出,cos,F,1,CF,2,再结合基本不等式,.,（,3,）设,P,（,x,1,y,1,）、,Q,（,x,2,y,2,），则,用设而不求的思路求解,.,（,1,）,解,设椭圆方程为,(,a,b,0),，则,，,（,2,）,证明,由椭圆定义得：,|,F,1,C,|+|,F,2,C,|=2,a,，,cos,F,1,CF,2,=,=,=.,|,F,1,C,|,F,2,C,|=,a,2,，,cos,F,1,CF,2,，,F,1,CF,2,.,（,3,）,解,设直线,PQ,的方程为,y,=-(,x,-,c,),即,y,=-(,x,-,c,).,代入椭圆方程消去,x,得：,整理得：,5,y,2,-2,c,2,=0,y,1,+,y,2,=,y,1,y,2,=.,（,y,1,-,y,2,）,2,=.,因此,a,2,=50,b,2,=25,所以椭圆方程为,.,探究提高,（,1,）求离心率，结合已知条件找到,a,b,c,的关系,式,；,（,2,）,C,为椭圆上的任意一点，,F,1,，,F,2,为左、右焦点，当,C,点是椭圆短轴的一个端点时，,F,1,CF,2,取得最大值,.,变式训练,1,已知圆,F,1,：,（,x,+1,）,2,+,y,2,=,圆,F,2,：,（,x,-1,）,2,+,y,2,=,，动圆,M,与圆,F,1,、,F,2,都相切,.,（,1,）求动圆圆心的轨迹,C,的方程；,（,2,）已知点,A,（,-2,，,0,），过点,F,2,作直线,l,与曲线,C,交于,P,，,Q,两点，求 的取值范围,.,解,（,1,）设动圆圆心为,M,（,x,y,），圆,M,的半径为,r,则,|,MF,1,|=,r,+,，,|,MF,2,|=-,r,，,|,MF,1,|+|,MF,2,|=4.,则动圆圆心,M,的轨迹,C,为以,F,1,（,-1,，,0,），,F,2,（,1,，,0,）,为焦点的椭圆,.,a,=2,c,=1,，,b,2,=3.,故轨迹,C,的方程为,.,(2),F,2,在曲线,C,内部，过,F,2,的直线与曲线,C,恒有两个公共点,.,当,l,与,x,轴重合时，,P,或,Q,有一个与,A,重合，,.,当,l,x,轴时，,P,（），,Q,（），,.,当,l,与,x,轴不重合也不垂直时，设,l,：,y,=,k,(,x,-1,），,P,（,x,1,y,1,）,Q,(,x,2,y,2,),y,=,k,(,x,-1),由,整理，得,（,4,k,2,+3,）,x,2,-8,k,2,x,+4,k,2,-12=0,.,=144,k,2,+1440,恒成立,.,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=.,=,（,x,1,+2,y,1,）,（,x,2,+2,y,2,）,=(,x,1,+2)(,x,2,+2)+,y,1,y,2,=,x,1,x,2,+2(,x,1,+,x,2,)+4+,k,2,(,x,1,x,2,-,x,1,-,x,2,+1)=,=,k,2,0,0,.,综上，,二、圆锥曲线中的定值与最值,例,2,已知菱形,ABCD,的顶点,A,，,C,在椭圆,x,2,+3,y,2,=4,上，对角线,BD,所在直线的斜率为,1.,（,1,）当直线,BD,过点（,0,，,1,）时，求直线,AC,的方程；,（,2,）当,ABC,=60,时,求菱形,ABCD,面积的最大值,.,思维启迪,（,1,）根据菱形的性质及条件求解,.,（,2,）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不,等式知识求解,.,解,（,1,）由题意得直线,BD,的方程为,y,=,x,+1.,因为四边形,ABCD,为菱形，所以,AC,BD,.,于是可设直线,AC,的方程为,y,=-,x,+,n,.,x,2,+3,y,2,=4,由 得,4,x,2,-6,nx,+3,n,2,-4=0,y,=-,x,+,n,.,因为,A,、,C,在椭圆上,所以,=-12,n,2,+640,，解得,.,设,A,，,C,两点坐标分别为,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),，,则,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=,y,1,=-,x,1,+,n,y,2,=-,x,2,+,n,.,所以,y,1,+,y,2,=.,所以,AC,的中点坐标为,.,由四边形,ABCD,为菱形可知，,点 在直线,y,=,x,+1,上，,所以,解得,n,=-2.,所以直线,AC,的方程为,y,=-,x,-2,即,x,+,y,+2=0.,（,2,）因为四边形,ABCD,为菱形，且,ABC,=60,所以,|,AB,|=|,BC,|=|,CA,|.,所以菱形,ABCD,的面积,S,=|,AC,|,2,.,由,(1),可得,|,AC,|,2,=(,x,1,-,x,2,),2,+(,y,1,-,y,2,),2,=,所以,.,所以当,n,=0,时,菱形,ABCD,的面积取得最大值,.,探究提高,解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：,利用函数，尤其是二次函数求最值；,利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；,利用不等式，尤其是均值不等式求最值；,利用判别式求最值；,利用数形结合，尤其是切线的性质求最值,.,变式训练,2,（,2009,银川模拟）已知椭圆 的离心率为 ，以右焦点,F,为圆心的圆过椭圆上的顶点,B,（,0,，,b,），且与直线,l,：相切,.,（,1,）求椭圆的方程；,（,2,）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于,M,、,N,两点，该椭圆,的左、右顶点分别为,A,1,、,A,2,，求证：直线,MA,1,与直线,NA,2,的斜,率平方的比值为定值,.,（,1,）,解,设点,F,（,c,0,），其中,.,以右,焦点,F,为圆心的圆过椭圆上的顶点,B,（,0,，,b,），圆的半径为,r,=.,由圆与直线,l,：,x,+3=0,相切，得,=,a,，又,a,=2,c,，,c,=1,，,a,=2,，,b,=.,椭圆方程为,.,（,2,）,证明,设,M,（,x,1,y,1,）,N,(,x,2,y,2,),，当直线,MN,的斜率不存在时，直线,MN,的方程为,x,=1,当直线,MN,的斜率存在时，设直线,MN,的方程为,y,=,k,(,x,-1),，将其代入 ，得,(3+4,k,2,),x,2,-8,k,2,x,+4,k,2,12=0,x,1,+,x,2,=,.,而,将其代入上式，得,综上，知直线,MA,1,与直线,NA,2,的斜率平方的比值为,定值,.,三、圆锥曲线中的参数范围问题,例,3,在平面直角坐标系,xOy,中，经过点（,0,，）,且斜率为,k,的直线,l,与椭圆 有两个不同,的交点,P,和,Q,.,（,1,）求,k,的取值范围；,（,2,）设椭圆与,x,轴正半轴、,y,轴正半轴的交点分别为,A,、,B,，是否存在常数,k,，使得向量 共线？,如果存在，求,k,值；如果不存在，请说明理由,.,思维启迪,（,1,）将直线,l,的方程与椭圆方程联立转化为,关于,x,的一元二次方程，利用,0,求,k,的范围；（,2,）利,用共线的条件建立等式求出,k,值进行判断,.,解,（,1,）由已知条件知直线,l,的方程为,y,=,kx,+,代入椭圆方程得,.,整理得,直线,l,与椭圆有两个不同的交点,P,和,Q,等价于,=,解得,.,即,k,的取值范围为,.,（,2,）设,P,（,x,1,，,y,1,），,Q,（,x,2,，,y,2,），,则,=,（,x,1,+,x,2,，,y,1,+,y,2,），,由方程得,x,1,+,x,2,=,又,y,1,+,y,2,=,k,(,x,1,+,x,2,)+,而,A,（，,0,），,B,（,0,，,1,），,=,（，,1,）,.,所以 共线等价于,x,1,+,x,2,=,(,y,1,+,y,2,),，,将代入上式，解得,k,=,.,由（,1,）知,k,故没有符合题意的常数,k,.,探究提高,直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法,.,变式训练,3,如图，已知,直线,l,与抛物线,x,2,=4,y,相切于点,P,（,2,，,1,），,且与,x,轴交于点,A,，,O,为,坐标原点，定点,B,的坐标为（,2,，,0,）,.,（,1,）若动点,M,满足 ，求点,M,的轨迹,C,；,（,2,）若过点,B,的直线,l,（斜率不等于零）与（,1,）中的轨迹,C,交于不同的两点,E,、,F,（,E,在,B,、,F,之间），试求,OBE,与,OBF,面积之比的取值范围,.,解,（,1,）由,x,2,=4,y,得,y,=,x,2,y,=,x,.,直线,l,的斜率为,y,|,x,=2,=1.,故,l,的方程为,y,=,x,-1,，点,A,。