初中数学数学名师欧几里得.doc

欧几里得欧几里得(Euclid，拉丁文为 Euclides 或Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大．数学． 　　欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements，以下简称《原本》)闻名于世，他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词，而对于他的生平，现在知道的却很少．他生活的年代，是根据下列的记载来确定的．雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年)在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注，写了一个《几何学发展概要》，常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)，简称《概要》，是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一．另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection)，下面简称《汇编》．《概要》中指出，欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter，约公元前367—前282年，前323—前285年在位，托勒密王朝的建立者)时代的人，早年求学于雅典，深知柏拉图的学说．他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus，约公元前417—前369年)的成果，可能他也是这个学派的成员．《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题，可见他早于阿基米德．也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)． 　　通过亚里士多德(Aristotle)的著作，也可以核对欧几里得的年代．《原本》中建立公设、公理，显然受到亚里士多德逻辑思想的影响．亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”，和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同，也没有提到欧几里得．可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的，他的活动年代应在亚里士多德之后． 　　另一方面，欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane，约公元前300年)《运行的天体》(On moving sphere)的命题．而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus，约公元前315—前241年，曾是柏拉图学园的导师)的老师． 　　此外，帕波斯在《汇编》(卷7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大，和欧几里得的学生在一起．这说明欧几里得在亚历山大教过学． 　　综上所述，欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后． 　　《概要》还记述了这样一则轶事：托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径．欧几里得回答道： 这句话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言．斯托比亚斯(Stobaeus，约公元500年)的记载略有差异，他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话：“在国家里有老百姓走的小路，也有为国王铺设的大道，但在几何里，道路只有一条！”现多数学者取前说．理由是在门奈赫莫斯的时代，几何学尚未形成严整的独立学科． 　　斯托比亚斯还记载另一则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么．欧几里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利”．由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点．帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊，他从不掠人之美，也没有声称过哪些是自己的独创．而阿波罗尼奥斯则不然，他过分突出自己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得． 　　除《原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传．几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures)，此外还有光学、天文学和力学等，多已散失． 　 《原本》产生的历史背景 　 　　欧几里得《原本》是一部划时代的著作．其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦．只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦．《原本》完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响． 　　《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．从泰勒斯算起，已有 300多年的历史(见［11］)．泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者．他力图摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”？他对数学的最大贡献是开始了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步． 　　接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切，将数学从具体的事物中抽象出来，建立自己的理论体系．他们发现了勾股定理，不可通约量，并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容．这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》算术的几何化提供了线索． 　　希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心．雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题：(1)三等分任意角；(2)倍立方——求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；(3)化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆．问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度，只能划直线的尺)和圆规．希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题．这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步．作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oeno－pedes，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来，于是成为希腊几何的金科玉律． 　　智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)，孕育着近代极限论的思想．后来经过欧多克索斯的改进，使其严格化，成为《原本》中的重要证明方法，较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2．(见［ 2］，vol 3，p．365；［9］， p．230．) 　　埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题．无穷历来是争论的焦点，在《原本》中，欧几里得实际上是回避了这一矛盾．例如卷Ⅸ命题20说：“素数的个数比任意给定的素数都多”，而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多．只说直线可任意延长而不是无限延长． 　　原子论学派的德谟克利特(Democritus，约公元前410年)用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的 1/3，后来也是《原本》中的重要命题． 　　柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响．柏拉图非常重视数学，特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值．他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 　　这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论，用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量．《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作． 　　柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者，他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件． 　　到公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了． 　　建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底(Hippocrates，约公元前460年)，勒俄(Leo或Leon，公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius，公元前4世纪)等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得《原本》一种．在漫长的岁月里，它历尽沧桑而能流传千古，表明它有顽强的生命力．它的公理化思想和方法，将继续照耀着数学前进的道路． 　 《原本》的版本和流传 　 　　欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius，约公元232—304年)、帕波斯，辛普利休斯(Simplicius，6世纪前半叶)等人都注释过．最重要的是赛翁(Theon of Alexandria，约公元 390年)的修订本，对原文作了校勘和补充，这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础．赛翁虽生活在亚历山大，但离开欧几里得已有7个世纪，他究竟作了多少补充和修改，在19世纪以前是不清楚的． 　　19世纪初，拿破仑称雄欧洲，1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿，带回巴黎去．其中有两种欧几里得著作的手抄本，以后为 F．佩拉尔(Peyrard， 1760—1822)所得．(见［2］，pp．46—47，p．103．)1814—1818年，佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版，一种就是《原本》，另一种是《已知数》，通常叫做梵蒂冈本．《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同，过去的版本都声称来自赛翁的版本，而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中，无论是圆心角或圆周角，两角之比等于所对弧之比)．赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明．而梵蒂冈本没有上述这些内容，可见是赛翁之前的本子，当更接近欧几里得原著． 　　9世纪以后，大量的希腊著作被译成阿拉伯文．《原本》的阿拉伯文译本主要有三种：(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf，9世纪)译；(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain，？—910)译，后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，约826—901)所修订，一般称为伊沙格-塔比本；(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī，1201—1274)译． 　　现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath．1120左右)从阿拉伯文译过来的．后来杰拉德(Gerard ofCremona，约1114—1187)又从伊沙格-塔比本译出．1255年左右，坎帕努斯(Campanus of Novara，？—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文．两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书．在这之后到19世纪末，《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上．从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物．它流传之广，影响之大，仅次于基督教的《圣经》． 　　15世纪以后，学者们的注意力转向希腊文本，B．赞贝蒂(Zamberti，约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文，1505年在威尼斯出版． 　　目前权威的版本是J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928，丹麦人)、 H．门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia”(《欧几里得全集》，1883—1916出版)，是希腊文与拉丁文对照本．最早完整的英译本(1570)的译者是H．比林斯利(Billingsley，？—1606)．现在最流行的标准英译本是 T．L．希思(Heath，1861—1940，英国人)译注的“The thirteen books of Euclid’sElements(《欧几里得几何原本13卷》，1908初版，1925再版，1956修订版)，这书译自上述的海伯格本，附有一篇长达150多页的导言，实际是欧几里得研究的历史总结，又对每章每节都作了详细的注释．对其他文字的版本。