行列式克莱姆法则.ppt

§11.2行列式行列式一一. 行列式的定义行列式的定义1. 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式2. n阶行列式阶行列式二二. 行列式的性质行列式的性质三三. 行列式按行（列）展开定理及其推论行列式按行（列）展开定理及其推论四四. 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式五五. 克莱姆法则克莱姆法则用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定,且为一个数且为一个数. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主对角线主对角线次对角线次对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．元素的乘积冠以负号．说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .例２例２例２例２ 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端补充定义一阶行列式为：补充定义一阶行列式为：观察：有什么观察：有什么特点？特点？2. 类似地，定义四阶行列式为：类似地，定义四阶行列式为：3.由归纳法，从上面可以看出，可以由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列式的定义：给出任意阶行列式的定义：(1)（余子式的定义）设（余子式的定义）设n-1阶方阵的行列阶方阵的行列式已经定义，对于式已经定义，对于n阶方阵阶方阵去掉去掉A的第的第i行和第行和第j 列，其余元素不动所构成列，其余元素不动所构成的的n-1阶方阵的行列式阶方阵的行列式 称为称为元素元素 的余子式的余子式。

如：如：解：解：(2) n阶行列式阶行列式|A|的定义：的定义：规定规定n阶行列式阶行列式|A|为下式的值：为下式的值：记为记为：：（也将（也将|A|记为记为D或或Dn）也称之为行列式也称之为行列式|A|按第一行的展开式按第一行的展开式例例2.计算下列行列式计算下列行列式 ：：解：按第一行展开有解：按第一行展开有结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积于它的主对角线上的元素的乘积二、行列式的性质二、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如数乘行列式数乘行列式等于数乘等于数乘行列式的某一行行列式的某一行(列）列）的所有元素的所有元素证明证明则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质7　　把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变．列式不变．例如例如例１例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．．解解说明：利用性质说明：利用性质7，可将行列式，可将行列式化为上三角行列式化为上三角行列式所有列的元素之和相等所有列的元素之和相等三三. 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开定理及其推论定理及其推论1.n阶行列式阶行列式|A|的的元素元素 的余子式为的余子式为 ，，令：令：叫做叫做 的代数余子式。

的代数余子式按第按第i 行展开行展开按第按第j 列展列展开开说明：利用此性质，可对行列式进行说明：利用此性质，可对行列式进行 降阶运算降阶运算----称之为降阶法称之为降阶法选取零元素较选取零元素较多的行（多的行（ 列）列）展开展开定理定理1.3 n阶行列式阶行列式|A|的值等于它的任一行的值等于它的任一行 （列）的元素与其相应的代数余子（列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和式乘积之和即：即：例例1 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例3 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得例４例４ 计算行列式计算行列式解解四四. 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式定理两个定理两个n阶方阵阶方阵A与与B乘积的行列式等于这乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即两个方阵的行列式的乘积，即|AB|=|A||B|推论推论1 设设A1，， A2，，…，， Am是是m个个n阶方阵，阶方阵，则则| A1 A2… Am |=| A1|| A2 | … | Am |定义定义11.9 如果如果|A|0，则称，则称n阶方阵阶方阵A为非为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。

奇异方阵，否则称为奇异方阵推论推论2 设设A，，B是两个是两个n阶方阵，则阶方阵，则AB为奇为奇异方阵的充分必要条件是异方阵的充分必要条件是A，，B中至少有一中至少有一个是奇异方阵个是奇异方阵方阵方阵A的行列式的行列式|A|的运算性质：的运算性质：例例4：：小结小结 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值．．行列式的行列式的6个性质个性质3. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具. 思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念五、克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. .齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理　定理　 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .定理　定理　 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式例例1 用克莱姆则解方程组用克莱姆则解方程组解解例例2 2 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.。