初二数学经典题练习及答案.pdf

初二数学经典题型练习初二数学经典题型练习1 1．．已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC 是正三角形．证明如下首先， PA=PD， ∠PAD=∠PDA= （180°-150°） ÷2=15°， ∠PAB=90°-15°=75°AD在正方形 ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形 ADQ，连接 PQ， 则P∠PDQ=60°+15°=75°， 同样∠PAQ=75°， 又 AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 则∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC 是正三角形CB2. 2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F．求证：∠DEN＝∠F．F证明:连接 AC,并取 AC 的中点 G,连接 GF,GM.又点 N 为 CD 的中点,则 GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)E同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又 AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.NCD3 3、、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点P是 EF 的中点．求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．证明：分别过 E、C、F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、O、N，ABM在梯形 MEFN 中，WE 平行 NF因为 P 为 EF 中点，PQ 平行于两底所以 PQ 为梯形 MEFN 中位线，D所以 PQ＝（ME＋NF）/2G又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBOC所以角 OCB=角 NBFE而角 C0B＝角 Rt＝角 BNFPFCB=BF所以△OCB 全等于△NBFABQ△MEA 全等于△OAC（同理）所以 EM＝AO，0B＝NF所以 PQ=AB/2.4 4、、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．过点 P 作 DA 的平行线，过点 A 作 DP 的平行线，两者相交于点E；连接 BE因为 DP//AE，AD//PE所以，四边形 AEPD 为平行四边形AD所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBAP所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P 四点共圆BC所以，∠PAB=∠PEB因为四边形 AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD，且 PE=AD而，四边形 ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC，且 AD=BC所以，PE//BC，且 PE=BC.z.-即，四边形 EBCP 也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB5 5.P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC=3a 正方形的边长．解：将△BAP 绕 B 点旋转 90°使 BA 与 BC 重合，P 点旋转后到 Q 点，连接 PQ因为△BAP≌△BCQ所以 AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形 DCBA 是正方形DA所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°P即∠PBQ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形所以 PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为 PA=a，PB=2a，PC=3a所以 PQ＝2√2a，CQ＝a，所以 CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以 CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA＝90°CB所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°作 BM⊥PQ则△BPM 是等腰直角三角形所以 PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以 AB＝[√(5＋2√2)]a6. 6.一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。

向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度解：设小水管进水速度为*，则大水管进水速度为 4*vvt2x8x5v解之得：x 8t5v经检验得：x 是原方程解8t5v5v∴小口径水管速度为，大口径水管速度为8t2t由题意得：7 7．如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1） ，且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于*轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等.如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，.z.-求平行四边形OPCQ周长的最小值．y y解： （1）设正比例函数解析式为y  kx，将点M（2，1）坐标代入得k析式为yA1xO2BQ1，所以正比例函数解2QBAOxx同样可得，反比例函数解析式为yM（2）当点PQ在直线DO上运动时，图Q(m， m)，设点Q的坐标为于是S△OBQ而S△OAP所以有，2xMCP12图1OBBQ21( 1) ( 2)211mm221，12m，412m41，解得m  21)和Q2( 2， 1)所以点Q的坐标为Q1(2，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)，由勾股定理可得OQ所以当(n22nn22n4n2(n22)n4，22)n0即n0时，OQ2有最小值 4，2又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值 2．由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合） ，点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；（2）设AP=*, △PBE的面积为y.① 求出y关于*的函数关系式，并写出*的取值范围；② 当*取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解： （1）证法一：①∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.AD.z.P1H2-∴PB= PD， ∠PBC=∠PDC.又∵PB= PE，∴PE=PD.② （i）当点E段BC上(E与B、C不重合)时，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.综合（i） （ii） （iii）, PE⊥PD.（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.∵AP=*，AC=2，∴PC=2- *，PF=FC=APD22( 2  x) 1x.22BFECBF=FE=1-FC=1-(1∴S△PBE=BF·PF=22x.x)=221222x(1x.x) x2222212即y x2x(0＜*＜2).22121221②y  x2x  (x ) .222241∵a  ＜0，221时，y最大值.24（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AG△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.23∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.P又∵PB=PE，1∴BF=FE，∴GP=FE，BFE∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴ 当x DC.z.-∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=*，∴BF=PG=22x，PF=1-x.221222x(1x.x) x22222∴S△PBE=BF·PF=12即y  x2x(0＜*＜2).22121221②y  x2x  (x ) .222241∵a  ＜0，2∴ 当x 21时，y最大值.249、如图，直线 y=k1*+b 与反比例函数 y=k2*的图象交于 A（1，6） ，B（a，3）两点． （1）求 k1、k2的值． （2）直接写出 k1*+b-k2*＞0 时*的取值范围； （3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC∥OD，OB=CD，OD 边在*轴上，过点C 作 CE⊥OD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．10、如图 12，已知直线y （1）求k的值；（2）若双曲线y 1kx与双曲线y (k  0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．2xk(k 0)上一点C的纵坐标为 8，求△AOC的面积；xk，若由点(k 0)于P，Q两点（P点在第一象限）x（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．yAOB图 12x.z.。