巧用微积分活解物理题.doc

巧用微积分 活解物理题兰州市第二中学 王国士摘要：微积分的思想方法, 为解决中学物理问题提供了重要的工具,用微积分方法解决中学物理教学中的难点，可避免繁杂的计算过程，提高解题的速度，增强分析问题解决问题科学性和严谨性关键词： 微积分 物理教学 思维方式 解题方法高中数学新教材增加了微积分的知识, 为解决中学物理问题提供了思维方法和解题工具,用微积分数学手段分析解决中学物理难点问题，可真实描述细微的物理过程，加深对物理意义的理解，增强物理规律的科学性、严谨性，避免繁杂的计算过程，提高解题的准确性、可靠性微积分在中学物理教学中的应用一般分为四种类型：利用微分思想构建物理模型和推导物理公式，根据图像分析物理量的变化规律，求解代数函数的极值，求解三角函数极值本文通过实例分析微积分在物理教学中应用一、微分的应用中学物理中很多定理、公式的推导过程近似简化，在分析物理问题的过程中，利用微分解释物理量变化率及有关函数极值的问题时显得简洁清晰，科学准确如根据回路中磁通量随时间变化的函数关系，推导法拉第电磁感应定律，交流电变化瞬时值表达式的推导过程，利用速度公式推导位移公式，在追击问题中最大值最小值问题，等量异种电荷中垂线上场强的最大值的位置，三角函数的极值问题等。

1、用微分思想构建物理规律用法拉第电磁感应定理推导正弦交流电的数学表达式设面积为，电阻为的单匝矩形线圈,在匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的轴,从中心面开始以角速度匀速转动时, 时间内线圈平面与中心面的夹角为,穿过线圈磁通量为：,由法拉第电磁感应定律知，线圈中产生的感应电动势等于磁通量的变化率的负值,则线圈中产生的感应电动势的表达式为：, 交流电的表达式为： 例1：如图1所示，A、B为两个相同的环形线圈,共轴且靠近, A线圈中通有如图2所示的交流电，则下列说法中正确的是( ) (A)在t1到t2时间内两线圈相互吸引 (B)在t1到t2时间内两线圈相互排斥 (C) t1时刻两线圈间的相互作用力为零 (D) t1时刻两线圈间的相互作用力最大 分析与解：由图知通过线圈电流的变化规律为,则通过线圈的磁通量的变化规律为: ,由法拉第电磁感应定律得,线圈中感应电动势和感应电流的分别为 ，如图3所示由图知，在t1～t2时间内两线圈中电流方向相同,相互吸引,故(A) 正确、(B) 错误; t1时刻A线圈中电流最大, B线圈中电流为零,两线圈间的相互作用力为零 ,故(C)正确、(D)错误。

2、用微分求代数函数极值例2：甲、乙两车同时同地同向出发,在同一水平公路上做直线运动,甲以初速度v甲＝20m/s ,加速度a甲＝-2m/s2做减速运动,乙以初速度v乙＝4m/s , 加速度a乙＝2m/s2做加速运动，求两车再次相遇前的最大距离 分析与解：t时刻两车的距离为： 求s（t）对t微分得： 令： （一阶导数等于零函数有极值）解得 ：将代入原式得： 即：时两车再次相遇前的最大距离为例3：如图4所示 ,带电量为的等量同种电荷相距, 试问它们连线的中垂线上哪点的场强最大? 其值为多大? 分析与解：距两电荷连线的中点O相距为x处的场强为： 求E（x）对x的微分得： 令：解得 ：将代入原式解得：中垂线上场强的最大值： 3、利用微分方法求三角函数极值例4：如图5所示，PQ、MN为水平放置的平行导轨，通电导体棒ab垂直放置在导轨上，已知导体棒质量，长度为，通过的电流， 导体棒与导轨间的动摩擦因数若使导体棒ab水平向右匀速运动，要求轨道内所加与导体棒ab垂直的匀强磁场最小，求磁场方向与轨道平面的夹角及磁感应强度的最小值。

分析与解：磁场与轨道平面成θ角沿左向上方，导体棒受力如图6所示，对导体棒在水平和竖直方向上分别由牛顿第二定律得： 解得：令： 求当时， 将 代入原式得： 即：磁场方向与轨道平面的夹角时，匀强磁场有最小值4、用微分方法分析图像中物理量的变化率例5：如图7所示为某弹簧振子的振动图像，根据振动图像分析一个周期内振动物体速度随时间变化的规律 分析与解：位移时间图像上，图线某点切线的斜率为该时刻的速度，由弹簧振子的振动图像知，内，振子的速度为正值，且逐渐减小；内，振子的速度为负值，且逐渐增大； 内，振子的速度为负值，且逐渐减小；内，振子的速度为正值，且逐渐增大另一解法：由弹簧振子的振动图像可得，弹簧振子的位移时间关系为：，对该式求微分得：弹簧振子的速度时间关系为：，速度时间图像如图8所示，用该图像分析速度随时间的变化规律直观形象,一目了然二、积分的应用 在物理学中有许多物理量是另一物理量的累积效应，如位移是速度在时间上的积累，功是力在空间的积累、电量是电流在时间上的积累，热量是电流通过电阻在时间上积累等这种积累效应往往不是线性变化的，利用初等数学研究方法解决问题的过程中，多数要对实际情况进行近似处理,过程缺乏科学性和严密性，如用积分方法分析,可使物理意义更清晰，过程更科学严谨，结果更准确可靠。

1、用积分法推导公式弹簧弹性势能公式的推导,设弹簧的劲度系数为K，将弹簧从自然长度开始拉长x的过程中，外力所做的功等于弹簧的弹性势能； 这类问题在中学物理教学中较多如用匀变速直线运动的速度公式推导位移公式，电量等于电流对时间的累积效应等例6：用铁锤将铁钉水平地打入木桩中,设木桩对铁钉的阻力与铁钉进入的深度成正比,铁锤以相同的速度打击铁钉n次,在第1次打击时，铁钉进入的深度为d ,则打击n次铁钉进入的深度是多少? 第n次使铁钉进入的深度是多少?分析与解：设铁锤打击铁钉时，每次做功为W,锤子对木桩所做的功等于木桩克服阻力所做的功为 ＝同理得：n-1次、n次、第n次打进的深度分别是： 2、用积分法解代数式问题例6：质量为m的人造地球卫星在距地心为r1的近轨道上绕地球做匀速圆周运动，现该将该卫星通过变轨使之在距地心为r2的远轨道上做匀速圆周运动，至少需要增加多少能量? （地球表面的重力加速度为g）分析与解：质量为m的人造地球卫星在距地心为r轨道上做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，则：在地球表面附近有：由以上两式得，人造地球卫星在距地心为r的轨道上的动能为： 则质量为m的卫星在距地心为r1和r2处的动能分别为： 设卫星在无限远处的重力势能为零，地球的质量为M,则质量为m的人造地球卫星在距地心的近轨道移到无限远处的过程中，克服地球的引力所做的功等于卫星重力势能的增量，由万有引力定律及牛顿第二定律得：将代入上式得，卫星在距地心为r处的重力势能为： 则质量为m的卫星在距地心为r1和r2处的重力能分别为： 将质量为m的卫星在距地心为r1的近轨道转移到r2远轨道需要增加的能量为： 3、用积分法解三角函数式问题正弦交流电平均值与最大值的关系。

设通过某电阻的正弦交流电为：,求该交流电平均值 正弦交流电的平均值等于内的平均值,则该交流电的平均值为： ，即正弦交流电平均值和最大值间的关系为： 例7：通过某电阻的正弦交流电为,求内通过该电阻的电量 分析与解：由正弦交流电平均值的计算公式得： 微积分在高中物理教学中的应用较为广泛，现行高中物理教材中没有涉及用微积分解决问题的内容，将微积分思想方法适当用于物理教学之中，可加深学生对物理规律的理解，增强其严谨性，激发学生的学习热情，加强学科之间的渗透，培养学生应用数学知识解决物理问题，提高学生的分析问题解决问题的能力。