高考数学一轮经典例题曲线和方程.pdf

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度典型例题一例 1 假设命题“坐标满足方程0yxf，的点都在曲线C上不正确，那么以下正确的命题是A 曲线C上的点的坐标都满足方程0yxf，B 坐标满足方程0yxf，的点有些在C上，有些不在C上C 坐标满足方程0yxf，的点都不在曲线C上D 一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程0yxf，分析： 原命题是错误的，即坐标满足方程0yxf，的点不一定都在曲线C上，易知答案为D典型例题二例 2 说明过点)1,5(P且平行于x轴的直线l和方程1y所代表的曲线之间的关系分析： “曲线和方程的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(yxf的解， 即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，即完备性这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准那么解： 如以下图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为1y，因此在直线l上的点的坐标都满足1y，所以直线l上的点都在方程1y表示的曲线上 但是以1y这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上，因此方程1y不是直线l的方程，直线l只是方程1y所表示曲线的一局部说明： 此题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性典型例题三例 3 说明到坐标轴间隔相等的点的轨迹与方程xy所表示的直线之间的关系分析： 该题应该抓住“纯粹性和“完备性来进展分析解： 方程xy所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴间隔相等但是“到坐标轴间隔相等的点的轨迹上的点不都满足方程xy，例如点)3,3(到两坐标轴的间隔均为3，但它不满足方程xy因此不能说方程xy就是所有到坐标轴间隔相等的点的轨迹方程，到坐标轴间隔相等的点的轨迹也不能说是方程xy所表示的轨迹说明： 此题中“以方程的解为坐标点都在曲线上，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程，即不满足纯粹性只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线典型例题四例 4 曲线4) 1(22yx与直线4)2(xky有两个不同的交点，求k的取值范围有一个交点呢？无交点呢？分析： 直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、 一个解和无解， 也就是由两个方程整理出的关于x的一元二次方程的判别式分别满足0、0、0解： 由.4)1(,4)2(22yxxky得04)23()23(2)1(222kxkkxk 4)23)(1(4)23(42222kkkk当0即0)52)(12(kk，即2521k时，直线与曲线有两个不同的交点当0即0)52)(12(kk，即21k或者25k时，直线与曲线有一个交点当0即0)52)(12(kk，即21k或者25k时，直线与曲线没有公一共点说明： 在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x(或者y) 的一元方程解的个数一样，所以假设上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但假设是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定一样，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到详细问题详细分析典型例题五例 5 假设曲线xay与)0(aaxy有两个公一共点，务实数a的取值范围分析： 将“曲线有两个公一共点转化为“方程有两个不同的解，从而研究一元二次方程的解的个数问题假设将两条曲线的大致形状现出来，也容许能得到一些启发解法一： 由axyxay得：ayay0y，222)(ayay，即02)1(4322ayaya要使上述方程有两个相异的非负实根那么有：010120)1(442423246aaaaaaa又0a解之得：1a所务实数a的范围是),1 (解法二：xay的曲线是关于y轴对称且顶点在原点的折线，而axy表示斜率为1 且过点),0(a的直线， 由以下图可知， 当1a时，折线的右支与直线不相交所以两曲线只有一个交点，当1a时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点说明 ：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求假设题设条件中“0a改为Ra呢，请自己探求典型例题六例 6AOB， 其中)0,6(A，)0,0(O，)3,0(B， 那么角AOB平分线的方程是xy( 如以下图 ) ，对吗？分析： 此题主要考察曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段解：不对，因为AOB内角平分线是一条线段OC，而方程xy的图形是一条直线如点)8,8(P坐标适宜方程xy，但点P不在AOB内角AOB的平分线上综合上述内角AOB平分线为：)20(xxy说明： 判断曲线的方程或者方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围典型例题七例 7 判断方程122xxy所表示的曲线分析： 根据方程的外表形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进展等价变形解： 由原方程122xxy可得：1xy，即),1(1),1(1xxxxy方程122xxy的曲线是两条射线，如以下图：说明： 判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形如方程21yx等价于2)1(2yx且1x，即)1(2) 1(2xxy，原方程的曲线是抛物线一局部典型例题八例 8 如以下图，A、B是两个定点，且2AB，动点M到定点A的间隔是4，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P，求动点P的轨迹方程分析： 此题首先要建立适当直角坐标系，动点P满足的条件 ( 等量关系 ) 题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系连结PB，那么PBPM，由此4AMPMPAPBPA，即动点P到两定点A，B间隔之和为常数解： 过A，B两点的直线为x轴，A，B两点的中点O为坐标原点，建立直角坐标系2AB，A，B两点坐标分别为)0,1(，)0,1(连结PBl垂直平分线段BM，PBPM，4AMPMPAPBPA设点),(yxP，由两点间隔公式得4)1()1(2222yxyx，化简方程，移项两边平方得( 移项 )xyx4)1(222两边再平方移项得：13422yx，即为所求点P轨迹方程说明： 通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P点与两定点A，B间隔之和为常数4，是解此题的关键方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性典型例题九例 9 过42，P点作两条互相垂直的直线1l，2l，假设1l交1l轴于A，2l交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程解： 连接PM， 设yxM， 那么02 ，xA，yB20，21llPAB为直角三角形由直角三角形性质知即化简得M的轨迹方程为说明： 此题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此此题可有三种解法用斜率求解的过程要费事一些O A x P y B 图M 典型例题十例 10 求与两定点A、B满足222kPBPAk是常数的动点P的轨迹方程分析： 按求曲线方程的方法步骤求解解法一： 如图甲，取两定点A和B的连线为x轴，过AB的中点且与AB垂直的直线为y轴建立坐标系设)0,( aA，)0,(aB，),(yxP，那么：222)(yaxPA，222)(yaxPB据题意，222kPBPA，有22222)()(kyaxyax得24kax由于k是常数，且0a，所以akx42为动点的轨迹方程，即动点P的轨迹是一条平行于y轴的直线解法二： 如图乙，取A与B两点连线为x轴，过A点且与AB垂直的直线为y轴建立坐标系设)0,0(A，)0,(aB，),(yxP，那么：222yxPA，222)(yaxPB据题意，222kPBPA，有22222)(kyaxyx，得akax222，即动点P的轨迹方程为akax222，它是平行于y轴的一条直线解法三： 如图丙建立坐标系，设),(11yxA，),(22yxB，),(yxP，那么21212)()(yyxxPA，22222)()(yyxxPB据题意，222kPBPA，有222222121)()()()(kyyxxyyxx，整理后得到点P的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212kyxyxyyyxxx，它是一条直线说明： 由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线而解法三得到的方程烦琐、冗长，假设以此为根底研究其他问题，会引起不必要的费事因此，在求曲线方程时，根据详细情况适中选取坐标系非常重要另外，也要注意到此题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点A和B(aAB2) 在平面内转动， 且转动时保持互相垂直，求两直线的交点P的轨迹方程分析： 建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式解： 取直线AB为x轴，取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，那么：)0,( aA，)0,(aB，P属于集合222ABPBPAPC设),(yxP，那么22222)2()()(ayaxyax，化简得222ayx这就是两直线的交点P的轨迹方程说明： 此题易出现如下解答错误：取直线AB为x轴，取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系，那么：)0,( aA，)0,(aB，交点P属于集合1PBPAkkPPBPAPC设),(yxP，那么axykPA)(ax，axykPB)(ax，故1axyaxy，即222ayx(ax)要知道，当xPA轴且另一直线与x轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A同样xPB轴重合时，且另一直线与x轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B因此，)0,( aA与)0,(aB应为所求方程的解纠正的方法是： 当PA或者PB的斜率不存在时， 即ax时，)0,( aA和)0,(aB也在曲线上，故所求的点P的轨迹方程是222ayx求出曲线上的点所适宜的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适宜的局部，也不要遗漏满足条件的局部典型例题十二例 12 如图，ABCRt的两条直角边长分别为a和b)(ba，A与B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，求直角顶点C的轨迹方程分析： 由ACB是直角，A和B两点在坐标轴上滑动时，AOB也是直角，由平面几何知识，A、C、B、O四点一共圆，那么有AOCABC，这就是点C满足的几何条件由此列出顶点C的坐标适宜的方程解： 设点C的坐标为),(yx，连结CO，由90AOBACB，所以A、O、B、C四点一共圆从而ABCAOC由abABCtan，xyAOCtan，有abxy，即xaby注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线， 而题目中的A与B均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a、b为常数，故C点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一局部我们可考察A与B两点在坐标轴上的极端位置，确定C点坐标的范围如以下图，当点A与原点重合时，xbaxABSABC222121，所以22baabx如以下图，当点B与原点重合时，C点的横坐标BDx由射影定理，ABBDBC2，即222baxa，有222baax由ba，所以22222baabaab故C点的轨迹方程为：xaby22222baaxbaab 说明： 求出曲线上的点所适宜的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适宜的局部典型例题十三例 13过点)2,3(P作两条互相垂直的直线1l、2l， 假设1l交x轴于A，2l交y轴于B，M段AB上，且3:1: BMAM，求M点的轨迹方程分析： 如图，设),(yxM，题中几何条件是21ll，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为 1，所以要求M的轨迹方程即x、y之间的关系，首先要把1l、2l的斜率用x、y表示出来，而表示斜率的关键是用x、y表示A、B两点的坐标，由题可知M是A、B的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A、B、M坐标之间的关系，进而表示出A、B两点的坐标，并求出M点的轨迹方程解： 设),(yxM，)0,(aA，),0。