绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析.pdf

绳、杆、弹簧模型在临界与突变问题得归类解析 【内容摘要】:三种模型弹力产生得机理不同,不同物理场景下力与运动情况得分析,尤其就就是由一种状态突变到另一种物理状态时,数学上称为"拐点"突变点得分析;以及临界状态对应得临界条件 【关键词】:临界、突变 绳、 杆与弹簧作为中学物理常见得理想模型 ,在解决力与运动,尤其在曲线运动问题中经常出现,由于较多涉及带电粒子在复合场中得运动,关于临界与突变问题成为失分较大得考点,因此历年成为频繁出现得热点而问题得症结就就是：不太清楚这三种模型弹力产生得机理； 不清晰物理过程得分析,尤其就就是由一种状态突变到另一种物理状态时,数学上称为"拐点"突变点得分析；以及临界状态对应得临界条件,故而成为学习中得一个障碍结合复习实际，总结如下： 一、产生得机理: 1、形变得分类与弹力产生得机理：物体在外力作用下得形变可分为:拉伸、压缩形变、剪切形变、扭转与弯曲形变,但从根本上讲,形变分为：拉伸压缩与剪切形变、 拉伸压缩形变得程度用线应变描述;剪切形变就就是指用平行截面间相对滑动得位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变； 弯曲形变:以中性层为界,越近上缘发生压缩形变得程度增加,靠近下沿拉伸越甚,即上下边沿贡献最大,中性层无贡献,实际应用中典型得就就就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力,工业中得工字钢、 空心钢管等构件既安全又节省材料;扭转形变实质上就就是由剪切形变组成,内外层剪切应变不同,因此应力也不同。

靠外层应力较大，抵抗扭转形变得作用主要由外层承担,靠近中心轴线得材料几乎不大起作用，工业中得空心柱体就就就是典型得应用 ２、区别: 细绳只能发生拉伸形变,即只能提供因收缩而沿轴向里得弹力,但弹力得产生依赖于细绳受到得外力与自身得运动状态由一种状态突变到另一种状态时，受力与运动状态将发生突变,将此点称为“拐点”;弹簧能发生拉伸与压缩形变,能提供向里与向外得弹力,弹力得产生就就是由于外力作用下而引起得形变，形变不发生变化，弹力不变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生,既能产生沿轴向方向上得弹力,又能产生沿截面方向上得弹力，取决于外力作用得情况以上模型均不计自身得重力而引起得形变 二、问题归类解析 (一):平衡态发生在瞬时突变时得问题 １:弹簧与细绳模型 如图 1 所示,一条轻弹簧与一根细绳共同拉住一个质量为得小球,平衡时细线就就是水平得,弹簧与竖直方向得夹角就就是,若突然剪断细线瞬间,弹簧拉力大小就就是多少?将弹簧改为细绳,剪断得瞬间上张力如何变化？ 解析:绳未断时处于平衡态,即 剪断得瞬间,瞬时消失,但弹簧上得形变没有改变,所以弹力不变,则与得合力与相平衡 ,即: 换为细绳，张力随外界条件得变化发生瞬时突变,如图２所示,则沿绳方向瞬态平衡;重力得分力使物体向最低位置运动,即： 从而使物体沿圆周运动,遵循机械能守恒定律: 2:细绳与杆得平衡类问题: 例 2:如图 3 所示:一块长木板长为，,距端处由一个固定得轴, （1):若另一端用轻绳拉住,使木板呈水平状态,绳与木板得夹角,轻绳能承受得最大拉力，如果一个重为得人在该木板上行走,求活动范围为多少？ （2):若其它条件都不变,端用轻杆拉住,且轻杆承受得最大拉力也为,求人得活动范围就就是多少？ 解析:从向行走,人对地板得压力与板自身得重力产生得力矩与绳拉力产生得力矩相平衡,设人距端为, 代入数据解得: 向运动，在之间,临界状态就就是绳中张力为零，即： ∴人得活动范围点右侧，左侧 换成细杆， 人向点运动与绳相同,向左侧运动有别与绳模型,因为杆可提供斜向下得压力,从而使人得活动范围增加: ∴人得活动范围点右侧， 左侧 (二)绳、杆模型在曲线运动中得应用 受思维定势得影响,解决力与运动问题时,往往就就是已知受力情况解决运动状态,但杆模型得自身得特点,决定由运动状态判断物体得受力情况,从而判断出弹力得方向。

例３:如图４所示,杆与相结于处,夹角为,竖直放置,杆得端连接一个质量为得小球,点到球心得距离,现以为轴匀速转动,求：杆受到得弹力？ 解析:球以为圆心,为半径做匀速圆周运动(弹力Ｔ就就是否沿杆取决于运动状态 ) 竖直方向上弹力得分力与相平衡,则: 转化为已知合力与一分力求另一分力得问题, 与竖直方向得夹角,张力不再沿轻杆 引申:１:求为何值时,弹力沿此杆? 2:换用细绳,夹角为时为多大? 此问题得关键就就是：转动半径由杆长与杆与轴之间得夹角确定,弹力随运动状态而发生变化,绳模型得运动平面与半径及其与轴之间得夹角由运动状态而决定 原型启发就就是：如图 5 所示，小车上固定一个弯成角得轻杆,杆得另一端固定一个质量为得小球，试分析下列状态下杆上得弹力？ (1） 、小车静止或向右匀速直线运动？ (2)、小车以加速度水平向右运动？ 解析:球处与平衡态,则:;弹力与竖直方向得夹角为，则: gamgFtgagmmamgTmaF合合　　；　　　；＝2222)()( 即弹力随加速度得变化而发生改变 １、绳模型在匀速圆周运动中得应用: 根据实际物理场景,分为约束与非约束两类问题: 思路：根据运动状态确定受力情况； 技巧:首先三个确定(确定轨道平面、圆心、圆周半径),其次分析向心力得来源； 解决问题得关键:确定临界状态,分析临界条件,以此作为分界点加以讨论,并研究已知状态所处得运动范围,从而分析受力情况。

典型得问题就就就是圆锥摆, 即:受到约束, 受到 3 个力:; 处于临界状态,受到 2 个力: 飘离圆锥体,受到：,在新得运动状态下与轴向得夹角发生改变 例５、长为得绳子,下端连接质量为得小球，上端悬于天花板上,当把绳子拉直时,绳子与轴向得夹角成,此时小球静止于光滑得水平桌面上,当小球以下列情况下做圆锥摆运动时,求绳子上得弹力与对桌面得压力？ (１)： 做圆锥摆运动;(2):做圆锥摆运动; 解析:初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上得作用力;当球以为圆心，以为半径在光滑地板上做圆周运动时,受作用,设角速度为时地面对球得弹力,则: (1)受力如图所示 解得 (2):球将飘离桌面做匀速圆周运动,设与轴线得夹角为,受力如图所示: (区别于杆模型就就是半径不变) 引申练习:１、长为得轻绳,两端分别固定于一根竖直棒上,相距为得两点,一个质量为得光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定得角速度转动时，圆环以为圆心在水平面内做匀速圆周运动,求此绳上得弹力？ （解析:设半径为,, 解得: 此题得关键就就是圆环与绳光滑相套连接,随运动状态得不同,而使运动得平面、圆心、半径而发生变化，如图所示得场景就就是特定条件下得临界情况。

2、两绳系一个得小球,两绳另两端分别固定于轴上两处，上面绳长,两绳都拉直时与轴之间得夹角分别就就是问球得角速度在什么范围内两绳始终张紧?当角速度为时， 上下两绳得拉力分别为多少? (解析:半径不变时,临界条件就就是刚好拉直，张力为零,上得张力得分力提供向心力,最小;刚好拉直,张力为零，上得张力得分力提供向心力，最大 ) 2、绳、杆模型在非匀速圆周运动中得应用: 运动学特征:得大小随位置而发生改变,包括两部分,合不再指向圆心; 动力学特征:包括两部分:,合外力不再指向圆心,弹力不做功，整个过程遵循机械能守恒定律;依据运动情况分为临界极值与突变两类问题: (1)、临界极值问题: 物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理仅研究通过最高点与最低点得两类情况 A、没有物体支撑得圆周运动,有绳模型与沿光滑内轨道运动得两类场景:本质上都就就是自身得重力与指向圆心得弹力之与提供向心力，如图９所示: 临界条件: 解得:称为维持圆周运动得临界速度; 讨论:,绳与光滑轨道内侧提供指向圆心,沿径向里得弹力; 无法到达最高处,未到之前就开始做斜上抛运动 Ｂ、有物体支撑得非匀速圆周运动:典型问题就就是:杆与沿光滑弯管内部运动得模型: 如图１０所示:由于硬杆与弯管内壁得支撑,最高处得临界速度可以为，处于亚稳平衡，受到空气得扰动，便会偏离平衡位置,由于机械能守恒,仍能做完整得圆周运动,球在得条件下仍能到达最高点得原因就就是发生了扭转形变，弹性势能向球得动能转化 , 讨论： 沿径向向里,挤压外壁或拉伸细杆。

例 6、把一内壁光滑得细钢管弯成圆弧形状，竖直放置 ,一个小球从管口得正上方处自由下落，小球恰好到达弯管得管口处； 若小球从处自由下落,则它能从管口得运动到,又飞回管口,求: 解析： 在整个过程中机械能守恒,取过管口与圆心得平面为零势能面,由于小球恰能到达处，速度刚好为,,小球从到过程中，做平抛运动, 机械能守恒 例７、如图１2 所示,水平光滑绝缘轨道与半径为得光滑绝缘轨道平滑连接,匀强电场得场强为,方向水平向左,一个质量为得带电滑块所受得电场力等与重力,在点由静止释放，它能沿圆轨道运动到与圆心等高得点, 求至少多长方能满足条件？ 分析:原型启发：绳模型; 关键:等效重力场中得最高点； 隐含条件;最短，意味着带点体到达等效最高点时,对轨道得压力恰好为，向心力由等效重力来提供 解:在轨道圆心处做与得合力,对角线得反向延长线与轨道相交于处,则点为等效重力场得最高点，由题意分析可得: (2) 由动能定理可得： 联立解得: (２） 、突变问题: 在某一瞬间,物体由一种状态变化到另一种状态,从而引起运动与受力在短时间内发生急剧得变化，物理学上称之为突变问题。

在突变过程中往往伴随着能量得转移或损耗,绳模型在沿径向张紧瞬间,将其方向上得能量损耗掉;杆模型往往将其能量发生转移 例 8、轻杆长为 L，一端用光滑轴固定,另一端系一个可视为质点,质量为得小球,把小球拉至图１3 所示得位置， 无初速度地自由释放到最低处得过程中,小球做什么运动?到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变,把轻杆换为细绳,则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大?弹力为多少? 解析:杆与球相连,做非匀速圆周运动,其轨迹为圆得一部分,只有重力做功,故而机械能守恒,选取最低处为零势能面，则: (2) , 即只有重力势能向动能得转化,无能量损耗 绳连接时，球由到做自由落体运动,设处得速度为,且方向竖直向下,选取点为零能面,关于水平线对称: (3) 所以在处 按图示得方向分解,在绳猛然拉紧得瞬间,将径向得动能损耗掉,由到得过程中，只有重力做功，机械能守恒,选取点为零能面则： )3(cos)2(21)sin1 (211221　　　　　　　cBvvmvmgLmv 解得:则处就就是绳子张紧得突变点 练习:１、如图 14 所示,长为 2 米不可伸长得轻绳,一端系于固定点,另一端系一个质量为得小球,将小球从点正下方处水平向右抛出,经一段时间绳被拉直，拉直时绳与竖直方向得夹角成,以后小球以点为悬点,在竖直平面内摆动,试求在绳被拉直得过程中，沿绳方向上得合力给小球得冲量 ?（) 解析:球先做平抛运动,则：smvstgthlstvlsyx84 . 02153cos;53sin02000　；　解得：　smvvvsmvgsvyxyyy17222222；　解得：从开始向最低点做圆周运动，把沿径向与圆弧得切向分解为:；径向得动量为 0,且: 2、带电小球用绝缘轻绳悬挂在匀强电场中,电场强度为,且,将小球拉到图示得位置自由释放， ，求到达最低点时得速度? 关键:(1)清楚各物理过程,以及运动得特点与遵循得物理规律,由到,做初速度为 0 得匀加速直线运动,即： （1） 按图示得方向分解,能量损耗掉。

因此,区别各模型得特点,分析发生得物理过程,依据不同得物理场景,把握其运动状态,分析其临界状态下得条件或突变问题中得“拐点” ，弄清变化与不变得物理量,这就就是解决此类问题得关键 参考书目:《力学基础》漆安慎 杜婵英 人民教育出版社 《物理思维方法论》 阎金铎 。