线性代数5-1-2.ppt

Ch5 特征值问题与二次型第一节 二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；而为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设有可逆线性变换四、化二次型为标准形的正交变 换法　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例4从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为说明：化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题1思考题1解答五、化标准形的拉格朗日配方法　　用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．　　问题　有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？　　问题的回答是肯定的。

下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解例7含有平方项去掉配方后多出来的项所用的可逆变换矩阵为解例8由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用的可逆变换矩阵为思考题2思考题2解答四、用初等变换法化二次型为标准形任一二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) = XTAX (其中 AT = A) ，一定存在可逆线性替换 X = CY 将其化为标准形.即存在可逆矩阵 C，使 CTAC为对角矩阵.在第一章，我们知道：可逆矩阵可写成若干个初等矩阵的乘积.所以，存在初等矩阵P1 , P2 , … , Ps ,有C = P1 P2 … Ps 对于任一初等矩阵 Pi (1  i  s )，PiT 仍为同种初等矩阵.所以CTAC = PsT … P2T P1T A P1 P2 … Ps 为对角矩阵.上式说明：对于实对称矩阵对于实对称矩阵 A A 相继施相继施以初等列变换，同时施以同种的初等行变换，矩阵以初等列变换，同时施以同种的初等行变换，矩阵A A 就合同于一个对角矩阵就合同于一个对角矩阵. .由此得到将二次型标准化的初等变换法：首先构造 2n  n 矩阵对 A 每施以一次行初等变换，就对施行一次同种的初等列变换.当矩阵 A 化为对角矩阵时，矩阵 E 将化为可逆矩阵 C.即对对A A施以一系施以一系列行初等变换列行初等变换对对施以一系列施以一系列同种列初等变换同种列初等变换PsT…P2TP1TAP1P2…PsP1P2…Ps由此可得可逆矩阵 C = P1P2…Ps 和对应的可逆线性替换 X = CY ，在此变换下，二次型 XTAX 化为标准五、二次型的规范形对于二次型在本节例 3 中所得到的标准形为而在例 5 中所到的标准形为即一个二次型的标准形不唯一，这与所作的可逆线性替换有关.但是，同一个二次型化为标准形后，标准形中所含的正、负平方项的个数却是相同的.为了深入地讨论这一问题，需引入二次型的规范形的概念.如果二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) = XTAX (其中 AT =A) 通过可逆线性替换可以化为y y1 12 2 + … + + … + y yp p2 2 – – y y2 2p p+1+1 – … – – … – y yr r2 2 ( ( p p   r r   n n ) )(5.12)则 (5.12) 称为该二次型的规范形.定理 5.4(惯性定理)　任一二次型任一二次型 f f ( ( x x1 1 , , x x2 2 , , …, …, x xn n ) ) 都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的范形是唯一的. .例如，本节例 5 中，二次型的标准形为作可逆线性替换即则二次型化为规范形记则所作的可逆线性替换为即在例 3 中，我们曾用配方法将同一二次型化为标准形.不难验证，作适当的可逆线性替换，该标准形也可化为规范形 (5.13) .这表明，一个二次型的规范形与所作的可逆线性替换无关.利用矩阵的语言，定理 5.4 可以叙述为推论 1 任意实对称矩阵任意实对称矩阵 A A 合同于对角矩阵合同于对角矩阵在二次型的规范形y y1 12 2 + … + + … + y yp p2 2 – – y y2 2p p+1+1 – … – – … – y yr r2 2 ( ( p p   r r   n n ) )中，正平方项的个数 p 称为二次型的正惯性指数；负平方项的个数 r – p 称为二次型的负惯性指数；它们的差，即 p – ( r – p ) = 2p – r 称为二次型的符号差.正惯性指数与负惯指数的和为 r，恰等于二次型的秩，即二次型矩阵 A 的秩.由此可得推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们具有相同的正惯指数和秩是它们具有相同的正惯指数和秩. .六、小结　　1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．　　2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换——拉格朗日配方法．　　3. 将二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．。