用判别式法求函数值域的问题分析（精编版）.docx

用判别式法求函数值域的问题分析江苏省奔牛高级中学 陆超群利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域，由于解题过程中常用到变形，往往导致错误．因此，许多师生认为该种方法不可靠而回避它，或者只有当函数定义域为 R 时才使用该方法．那么，到底是什么原因导致错误？解题过程中应注意什么？下面就常见的两类问题作一分析．第一类问题：如果函数y f ( x) 隐含于方程a( y) x2b( y) xc( y)0 中，因方程有实数根，通过 b( y) 24a( y) c( y)0 求出 y 的范围（设为集合 M ），若存在 y0M ，使 a( y0 ) 0 ，为什么有时要从 M 中除去 y0 ，而有时不要？例 1：已知函数 yf ( x) 满足方程x 2 yxy x 2 xy 1 0 ，求函数 yf ( x) 的值域．解 ： 原 方 程 可 变 为 ( y1) x 2( y 1)xy 1 0(1) ， ∵ xR ， 由 0 解 得51 y ．但当 y 31 时，方程（ 1）不成立，说明 y1不是函数 yf ( x) 的值，必须除去．因此函数 yf ( x ) 的值域应为 M y1 p y 5 ．3例 2：已知函数 yf ( x) 满足方程x 2 y4xy3y 2x0 ，求函数 yf (x ) 的值域．解 ： 原 方 程 可 变 为yx 2(4 y2) x 3 y0 ， ∵ xR ， 由 0 解 得y 2 3或y2 3 ．当 y0 时 x0 ，说明 y0 是函数 yf (x) 的值，因此函数 yf (x )的值域为 M y y2 3或y2 3 ．结论一： 若函数y f (x)隐含于方程a( y)x 2b( y) xc( y)0 (2) 中，此时可把方程 (2)看作 x 的二次方程．因方程（ 2）有实根，所以其判别式b( y) 24 a( y)c( y)0 (3) ，解不等式（ 3）所得到的 y 的范围（用集合 M 表示）有可能是函数 y f ( x) 的值域．但 M 是否为函数 y f ( x) 的值域还应分以下两种情况讨论：1. 若对于任意的 y M ，有 a( y) 0 ，由一元二次方程根的判别式可知，方程（ 2）有实根与不等式（ 3）是互为充要的条件，所以y f ( x)的值域为 M ．2. 若存在 y0M ，使a( y0 ) 0 ，则方程（ 2）为一次方程b( y0 )c( y0 )0 ( 2) ，这时又可分为两种情况讨论：①若b( y0) 0 ，方程( 2) 有解，所以函数y f ( x)的值域为 M．②若b( y0 ) 0 且c( y0 ) 0 时，方程(2) 为恒等式，显然有解，所以函数y f ( x)的值域为 M．当b( y0) 0 且c( y0) 0 时，方程( 2) 无解，这说明y0 不是函数y f ( x) 的值， 因此函数y f ( x)的值域应是 M 除去 y0 之后得到的集合．第二类问题： 当函数 y f ( x) 以分式形式给出时，常见问题的特征及解决问题的方法．问题一： 若函数值域？y f (x) 以分式形式给出，是否只有当定义域为 R 时才可用判别式法求例 3：求函数 y2xx 2 4x的值域．3解：两边乘以 x 24x 3 得yx 2(4 y2)x 3 y0 (4) ，当 x1或x3时分母虽然为零，但分子 2xo，显然 x1或x3 不是方程（ 4）的解，因此 y2x2x 4x与方程（ 4）是等价3的，以下解法仿照例 2．例 4： 求函数 yx 2 3xx 15 的值域．解：两边乘以x 1 得 x2(3 y) x y 50 (5) ，当 x21 时分母虽然为零，但分子2x 3 x 50 ，显然 x1不是方程（ 5）的解，因此 yx 3xx 15 与方程（ 5）是等价的．∵ x R ，由 0 解得 y11或 y1 ．∴函数 yf ( x ) 的值域为 My y 11或y 1 ．分析：类似于例 3、例 4 的问题，虽然函数程是等价的，故仍可用判别式法求函数的值域．f ( x)的定义域不为 R，但去分母前后两个方问题二： 若函数 y f (x) 以分式形式给出，当分子、分母有公因式时，应注意什么？例 5：求函数2x 2y 2x2 x 44 x 3的值域．解： y2x 2x 22x 44x 32( x(x1)( x1)(x2) ，∵由函数的定义域知3)x 1 ，∴ y2 x 4x 3(6)由函数（ 6）易知2 x 2y 2 ，因为 x2 x 41，所以把 x1代入（ 6）所求得的 y 的值 3 必须除去．所以函数例 6： yy 2x 4xx2 3x 2的值域应该为 M3y y 2且y 3 ．x 1解： y( x 1)( x 2)x 2 (7) ，由（ 7）易知 y R ，但因为 x1，所以把 x1 代入x 1)x2 3 x 2（7）所求得的 y 的值 1必须除去．所以函数 y的值域应该为x 1M y y 1 ．分析：类似于例 5、例 6 的问题，函数以分式形式给出，分子分母有公因式。

由于用判别式法相对比较繁琐，一般可先约去公因式，再求化简后函数的值域因变形前后函数的定 义域不同，从而导致了函数值域的不同，所以在求值域时一定要考虑定义域．结 论 二 ： 若 函 数y f (x)是以 分式 形 式 给 出的 ， 设 yf ( x)h( x)g( x)(8)， 其 中h(x)ax 2bx c ，g( x)lx 2mx n ， 把 （ 8 ） 变 形 为yg( x)h(x)(9) ， 即y（ lx 2mx n)ax2bx c ，整理得(lya) x 2( myb) x(ny c)0 (10) ，可分以下四种情况讨论：1. 若对于任意的实数 x ，恒有一类问题讨论．g (x) 0 时，则方程（ 8）与方程（ 9）等价，可归结为第2. 若存在实数x x0 ，使得g( x0 ) 0 ，而 h( x0 ) 0 ，显然x x0 不可能是方程（ 9）的解，所以方程（ 8）与方程（ 9）是等价的，因此也可归结为第一类问题讨论．3. 若存在实数x x1 ，满足方程（ 9），且 g (x1) 0 ，由（9）可知必有h( x1 ) 0 ，则 x x1是 g( x) 0 和h( x) 0 的公共解，因此有g( x) ( x x1 ) g1( x) ， h( x) ( x x1 )h1 ( x)，由（ 8）可得 y f1( x)h1 ( x)g1 (x)(8)，设集合 N 为函数y f1(x)的值域．由于x x1 时函数（ 9）无意义，因此函数y f ( x) 的值域应在函数y f1( x) 的值域 N 中除去y f1(x1 ) ．4. ．若存在两个实数x1 ，x2 满足方程（ 9 ），且g(x1 )g(x2 ) 0 ，由（ 9 ）可知必有h(x1)h( x2 ) 0， 也就 是说g (x) 0 和h( x) 0有 两 个 公 共 解x x1 和x x2， 所以 有g( x)l (x x1)( x x2 )， h(x)a( x x1 )( x x2 ) ，其中 l 和 a 为不等于零的常数．约去（ 8）中分子分母的公因式得 ya ，则函数ly f ( x) 的值域为 y ya ．例如函数 yl3( x4( x2)( x2)( x4) 的4)值域为 y y 3 ．4作者信息：陆超群，男， 1965 年生，中学数学高级教师，常州市学科带头人地址：江苏省奔牛高级中学 邮编： 213131 ：。