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第九章第九章 静态力静态力Chapter Ⅸ Static Forces 引言9.2  力和力距的表示9.3  坐标系之间的力变换9.4  等效关节力矩9.5  通过关节力矩判断负载质量9.6  利用腕力传感器判断负载质量9.7  本章小结  9.1 9.1 引言引言引言引言 ( (Introduction)Introduction)             本章介绍静态力和力距的表示方法，以及它们在坐标系之间的变换和等效关节力矩的计算方法以及通过关节力矩和利用腕力传感器确定机械手负载物体质量等问题9.2 9.2 力和力距的表示力和力距的表示力和力距的表示力和力距的表示 ( (The Representation of Forces and Moments)The Representation of Forces and Moments) 力和力距都是矢量，要相对于某个确定的坐标系来进行描述矢量 f 表示力，矢量 m 表示力矩力与力矩合在一起用矢量F表示，称为力向量F                           例如一个力矢量 f = 10i + 0j – 150k 和一个力矩矢量 m = 0i –100j + 0k，可用一个六维力向量表示为                                      F = [ 10   0   –150   0   –100   0 ] T(9.1)9.3 9.3 坐标系之间力的变换坐标系之间力的变换坐标系之间力的变换坐标系之间力的变换 ( (Transformation of Forces Between Coordinate Transformation of Forces Between Coordinate Frames)Frames)       虚虚功功原原理理：：所谓虚功原理是指假定有一个力向量F作用于一个物体，它引起一个微小的假想位移，称之为虚位移D，由于物体实际上并未移动，它在这个物体上所作的功称为虚功，且虚功为零。

 即δw = FT D  = 0                                               (9.2)     其中δw 表示虚功，D 表示虚位移的微分运动矢量               D = [ dx dy dz δx δy δz ]T                                 (9.3)      F为力矢量               F = [ fx fy fz mx my mz ]T                                    (9.4)               如果虚位移是由作用在物体上的另一个力向量造成的，它对物体的外部作用效果相同如果这个虚位移用坐标系C来描述，那么就会得到相同的虚功，即             δw = FT D = CFT CD                                         (9.5)      即                    FT D = CFT CD                                          (9.6)      则有                        C dx nx ny nz (p×n)x (p×n)y (p×n)z dx C dy ox oy oz (p×o)x (p×o)y (p×o)z dy C dz ax ay az (p×a)x (p×a)y (p×a)z dz Cδx = 0      0     0 nx ny nz δx (9.7) Cδy 0     0     0 ox oy oz δy Cδz 0     0     0 ax ay az δz                                                                                                                           令                                                      CD = J D            (9.8)             从而得到                   FTD = CFT J D                                                               (9.9)上式适用于任何虚位移D，于是可以得到                     FT = CFT J                                            (9.10) 即                                                       F = JT CF                                            (9.11) 亦即                  fx nx ox ax 0      0     0 cfx fy ny oy ay 0      0     0 cfy fz nz oz az 0      0     0 cfz mx = (p×n)x (p×o)x (p×a)x nx ox ax cmx my (p×n)y (p×o)y (p×a)y ny oy ay cmy mz (p×n)z (p×o)z (p×a)z nz oz az cmz (8.12)上式求逆得 cfx nx ny nz 0    0    0 fx cfy ox oy oz 0    0    0 fy cfz ax ay az 0    0    0 fz cmx    =      (p×n)x   (p×n)y   (p×n)z     nx ny nz mx             cmy          (p×o)x   (p×o)y   (p×o)z     ox oy oz my             cmz              (p×a)x   (p×a)y    (p×a)z     ax ay az mz将上式的上三行和下三行互换有             cmx nx ny nz   (p×n)x   (p×n)y   (p×n)z        mx             cmy ox oy oz   (p×o)x   (p×o)y   (p×o)z        my             cmz ax ay az   (p×a)x   (p×a)y     (p×a)z       mz              cfx = 0     0    0 nx n y nz fx cfy 0     0    0 ox oy oz fy cfz 0     0    0 ax ay az fz(9.13)(9.14) 由式（）和第五章的式（）可知，力和力矩在坐标系之间的变换形式与微分平移和微分旋转的变换形式相同，则有                                             cmx = n · (( f × p ) + m) cmy = o ·(( f × p ) + m) cmz = a ·(( f × p ) + m) cfx = n · f cfy = o · f cfz = a · f              式中的n，o，a 和p在第五章节中定义过，它们是微分坐标变换式的列向量，力矩的变换形式与微分平移一样，而力的变换形式与微分旋转一样。

9.16)(9.15)【例】 一个机械手及其末端执行器的位置为ZT6E，要把一个螺杆插入表示为OH的孔眼，如图所示Z T6 E = O H      末端执行器的坐标为                                 1   0   0    2                                0   1   0    0                    E  =      0   0   1   10                                0   0   0    1      在孔眼坐标系H中，机械手要施加的力是f = 0i + 0j + 100k, 试求坐标系T6中的等价力和力矩20010001001000100zxyyxz图9.1 坐标系之间的力变换T6H解：由图所示的变换图，我们可以得到微分坐标变换E–1                     1   0   0   –2                     0   1   0    0         E–1 =    0   0   1 -10                     0   0   0    1        于是 p = –2i + 0j – 10k，从而                                              i     j      k                         f × p  =     0    0    100    =  0i – 200j + 0k                                           –2    0    –10                                    f × p + m = 0i – 200j + 1000k        最后，由式(9.15)和(9.16)，可得                                         T6m = 0i – 200j + 1000k                                                               T6f  = 0i + 0j + 100k       即                    T6F = [ 0   0   100   0   –200   1000 ] TZ        T6E         H        O图9.2 变换图9.4 9.4 等效关节力矩等效关节力矩等效关节力矩等效关节力矩 ( (Equivalent Joint Torques)Equivalent Joint Torques) 这一节要解决的问题是，在作用于坐标系T6的力和力矩与等价关节力及关节力矩之间建立一定的关系。

还是利用虚功原理，使作用于坐标系T6的力和力矩所完成的虚功与她们在关节上完成的虚功相等，即                    δw = T6FT  T6D = τT Q                                       (9.17)             式中，τ是广义关节力的一个列向量，它由各个关节的力或力矩分量构成，对于旋转关节，它是力矩τi；对于滑动关节，它是关节力fiQ是关节虚位移的一个列向量，对于旋转关节为δθi，对于滑动关节为δdi             以斯坦福机械手为例，关节虚运动所完成的虚功为              式中，τi为关节力矩，f3为作用于滑动关节3的关节力由虚功原理可知                     T6FT T6D  =τT Q                                      (9.19)      由微分变换关系式得到            T6FT J Q =τT Q                                      (9.20)      上式与虚位移Q无关，从而         T6FT J = τT      即                                                    τ= JT T6F                                          (9.21) 式(9.21)是一个十分重要的关系式，它表明，给机械手末端坐标T6施加一个作用力和力矩，可以得到机械手各关节的等效力或力矩，使机械手与外部作用保持平衡。

如果机械手可以自由地按照作用力和力矩的方向运动，那么由式(9.21)确定的关节力或力矩就会使得给定的力和力矩获得作用效果需要指出的是，式(9.21)适用于任意自由度的机械手【例9.2】 设斯坦福手的状态如下                                                        0   1    0    20                                           T6   =     0   0   –1     0                                                        0   0    0      1                  相应各个关节坐标值如表所示    表9.1   机械手状态   坐标               值               正弦              余弦                              θ1                 00                          0                    1                              θ2                       900                          1                    0                                d3                       20in                                            θ4                          00                          0                    1                              θ5                       900                          1                    0                              θ6                       900                          1                    0其雅可比矩阵为 当施加由例得到的力和力矩 T6F =[0 0 100 0 –200 1000]T试计算必要的关节力矩和力。

解：关节力矩和力由式(9.21)求出 τi 20 –6 0 0 0 –1 0 –1000 τi 0 0 20 1 0 0 0 2000 f3 0 1 0 0 0 0 100 0 τi = 0 0 0 0 1 0 0 = –200 τi 0 0 0 1 0 0 –200 0 τi 0 0 0 0 0 –1 1000 10009.5 9.5 通过关节力矩判断负载质量通过关节力矩判断负载质量通过关节力矩判断负载质量通过关节力矩判断负载质量 ( (Mass Determination of Load by Joint Torques)Mass Determination of Load by Joint Torques)            如果机械手要移动一个未知负载，假定是最坏情况的负载，先设定合适的系统增益以防欠阻尼响应，然后控制机械手运动使它以恒速提起负载。

一旦所有关节都运动起来，按式第七章式(7.20)确定误差力矩和力于是，这些误差力矩和力就会与负载质量发生关系设机械手的位置相对基坐标由变换Z确定而未知负载被握在由T6E描述的末端执行器的质心处负载的位置X就是 X = Z T6 E (9.22) Z          T6                 E             X G               Y 图9.3 利用关节力矩变换图判定负载质量 位于末端执行器的1公斤负载在坐标系G中所施加的力为              GF = [ 0    0   –g    0     0    0 ]                                   (9.23)      其中                                                              1    0    0    Xpx                                                             0    1    0    Xpy                 G  =     0    0    1    Xpz                                                                        (9.24)                                                             0    0    0     1                      则G坐标系就与基坐标系定向一致 。

我们定义一个变换Y把G与X联系起来                                                              G Y = X (9.25)       则                                                      Y = G–1 X                                                               xnx xox xax 0  xny xoy xay 0  Y = xnz xoz xaz     0                                         (9.26)                                                               0       0       0      1              由图求得GF与T6F的微分变换式YE–1。

然后根据式(9.15)和(9.16)，把YE–1作为微分坐标变换，就得到1公斤负载作用于T6的力，然后再由式(9.21)得到等价关节力矩τ最后，根据式(7.20)得出误差力矩T，把T相对于τ进行归一化，通过求取τ与T的内积，我们就得到了负载质量m的表达式 (9.27) 一旦负载质量确定，就要重新计算动力学方程以便补偿负载质量的影响9.6 9.6 利用腕力传感器判断负载质量利用腕力传感器判断负载质量利用腕力传感器判断负载质量利用腕力传感器判断负载质量 ( (Mass Determination by Wrist Force Sensor)Mass Determination by Wrist Force Sensor) 如果有一个腕力传感器，它相对于T6的变换矩阵为T6W如果由腕力传感器测得六维力向量WF（含三个力分量和三个力矩分量），那么未知负载的质量就可以据此确定图画出了这个变换图，按照这个图，我们通过变换表达式YE–1W就能得到坐标系G与W之间的变换关系经过如同利用关节力矩确定负载质量一样的方法，我们求出1公斤负载在坐标系W中的等价力WFg。

在机械手提起未知负载之后，我们观测到作用在腕力传感器上的六维力向量WF通过归一化得到负载的质量                                          (9.28)WYGXET6Z图9.5 利用腕力传感器测定物体的质量 9.7 9.7 本章小结本章小结本章小结本章小结 ( (Summary)Summary)         本章得到两个重要结果 1.  坐标系之间力和力矩的变换关系式                                       cmx = n · (( f × p ) + m )                                       cmy = o · (( f × p ) + m )                            (9.15)                                       cmz = a · (( f × p ) + m )                                        cfx = c · f                                        cfy = o · f                                                   (9.16)                                        cfz  = a · f2.  建立了T6坐标系中的力和力矩与机械手关节力矩之间的关系τ = JT  T6F                                               (9.21)。