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精品word)高中数学空间几何体板块三空间几何体的表面积和体积完整讲义(学生版)学而思高中完整讲义：空间几何体.板块二截面与距离问题学生版空间几何体的表面积和体积计算棱柱【例1】 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ） A． B． C． D．【例2】 长方体的全面积为,条棱长度之和为，则长方体的一条对角线长为（ ）A． B． C． D． 【例3】 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为，，，这个长方体的对角线长为_____.【例4】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底边的夹角为角,则此三棱柱的体积为 （ ）A． B． C． D． 【例5】 （2008四川)已知正四棱柱的对角线的长为,且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 ．【例6】 长方体中共点的三条棱长分别为，，，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为,，，则(　　　)A．　　　B．　　　　C．　　D．【例7】 （2009陕西10）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A． B． C． D． 【例8】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．【例9】 （2008四川文12)若三棱柱的一个侧面是边长为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于（ )A． B． C． D．【例10】 在体积为的斜三棱柱中，是上的一点，的体积为3,则三棱锥的体积为（ ）A．1 B． C．2 D．3【例11】 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点,连结，，,,则三棱锥的体积（ ）A． B． C． D．【例12】 如图，在三棱柱中，若,分别为,的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，那么 ．【例13】 （2005上海春季）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、． 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则的取值范围是 ． 【例14】 平行六面体中,在从点出发的三条棱上分别取其中点，则棱锥的体积与平行六面体体积的比值为________．【例15】 如图，在长方体中,，，，分别过，的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，,，若，则截面的面积为 ．棱锥【例16】 侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为,则三棱锥的全面积是多少？【例17】 侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为的正四面体的体积是________;【例18】 已知正三棱锥的侧面积为18 cm,高为3cm． 求它的体积．【例19】 已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为,求正四棱锥的全面积与体积．【例20】 正棱锥的高增为原来的倍，底面边长缩为原来的，那么体积( ）A．缩为原来的 B．增为原来的倍 C．没有变化 D．以上结论都不对【例21】 (2009辽宁11）正六棱锥中，为的中点,则三棱锥与三棱锥体积之比为( ）A． B． C． D．棱台【例22】 正三棱台中，已知，棱台的侧面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，为棱台的斜高，，求上底面的边长．【例23】 已知三棱台中，，高．⑴求三棱锥的体积⑵求三棱锥的体积⑶求三棱锥的体积【例24】 正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64,求棱台上、下底的边长．【例25】 已知正六棱台的上，下底面边长分别为和，高为,则其体积为_______．圆柱【例26】 轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知:等边圆柱的底面半径为r，求全面积．圆锥 【例27】 轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积．【例28】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,且这个圆锥的体积为．求圆锥的表面积．【例29】 将圆心角为,面积为的扇形,作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【例30】 如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为圆台【例31】 已知圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．【例32】 图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球，求证：在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的．旋转体【例33】 如图所示，半径为的半圆内的阴影部分以直径所在直线为轴,旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中）．【例34】 如图，在四边形中,，，，,,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积．【例35】 如图所示，已知等腰梯形的上底，下底,底角,现绕腰旋转一周，求所得的旋转体的体积．【例36】 在中，，，（如图所示），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A． B． C． D．球体【例37】 球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ )A． B．1 C．2 D．3【例38】 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离，求该球的表面积与体积．【例39】 直径为10cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ）A．5 B．15 C．25 D．125【例40】 （09年西城区期末考试12)若，两点在半径为2的球面上,且以线段为直径的小圆周长为,则此球的表面积为___________，，两点间的球面距离为__________．【例41】 已知一个球的直径为，一个正方体的棱长为，如果它们的表面积相等，则（ ）A． 且 B． 且C． 且 D． 且【例42】 已知球的表面积为,球面上有、、三点．如果，，则球心到平面的距离为（ )A． B． C． D．【例43】 平面截球得到半径是的圆面，球心到这个平面的距离是,则该球的表面积是（ ）A． B． C． D．【例44】 (2006全国II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）A． B． C． D． 【例45】 设、、、是球面上的四个点,且在同一平面内,，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A． B． C． D．【例46】 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【例47】 球面上有三点，,组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,已知球的半径为，且，两点的球面距离为，,两点及,两点的球面距离均为，球心到这个截面的距离为，求球的表面积．。