工程数学线性代数第五版.ppt

用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即记住记住主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式列标列标行标行标则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .记住记住三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组如果三元线性方程组注意注意 与主对角线平行的三元素的乘积冠以与主对角线平行的三元素的乘积冠以正号正号，，与副对角线平行的三元素的乘积冠以与副对角线平行的三元素的乘积冠以负号负号．．的的系数行列式系数行列式若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例２例２例２例２ 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解不等式左端不等式左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、、2、、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种种放法放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数列的逆序数.方法方法2 2解解在排列在排列32514中中,例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 6 项，即项，即 3！！ 项．项．（（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．乘积． （（4）各项的正负号与列标的排列对照．）各项的正负号与列标的排列对照．带正号：带正号：123（（0），），231（（2），），312（（2）） 偶排列偶排列带负号：带负号：321（（3），），213（（1），），132（（1）） 奇排列奇排列二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、、 的符号为的符号为例例1 1　计算对角行列式　计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕练习：练习：已知已知解答解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．对换．将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换．．例如例如二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1　　一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．改变奇偶性．证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ，， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而而标准排列是偶排列标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按按行列式定义有行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之, 对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.。