高数复习要点(上册).pdf

一 . 求极限 求极限应该掌握的方法有：罗比达法则、 等价无穷小代换、 无穷小乘以有界量应为无穷小量（注 意，若用此性质求极限时应该怎么写） 、无穷大的倒数为无穷小、利用导数的定义求极限、利用定积 分的定义求极限，利用泰勒展开式求极限了解一下，熟记常用的等价无穷小代换、常用函数的麦克劳 林展开式 注意： a.若用罗比达法则求数列极限时，应注意先把数列的极限转化为函数的极限，然后在利用数 列极限和函数极限的关系做，例如：求 nπnn24tanlim时 ， 首 先 应 转 化 为 xπxx24tanlim， 求 此 函 数 的 极 限 ， 可 得nπnn24tanlim= xπxx24tanlimb.特别注意1型的极限，求此极限有两种方法：（1）利用重要极限；（2）把所求的极限转化为：)(ln)()(00lim)(limxfxgxxxgxxexfc. 注意xxelim（此极限不存在），此极限当 x时，极限为，当 x，极限为 0. d. 注意xxalim,此极限值和1a、1a及1a有关二. 求导数1.掌握抽象复合函数求导，例如：设fxexfyx),sin(具有二阶导数，求yy ,2.掌握隐函数方程所确定函数的求导（求导方法：方程两边直接对x求导，把y看成 x 的函数） 。

3. 掌握由参数方程所确定的函数求导，注意以下两个问题： a. 在求二阶导数时，因一阶导数是参数t 的函数，而我们是求函数对x 的二阶导数，因此求二阶导数 时，应先求一阶导数对t 的导数再乘以 t 对 x 的一阶导数，例如：设 tyttxarctan1ln2，求xy dd及22dd xy，则txtyxydddddd，xt xy txy xxy dd dd dd dd dd dd22b. 有时是求yx dd及22dd yx， 而不是求xy dd及22dd xy， 思路和求xy dd及22dd xy一样，唯一不同的是yx dd的自变量是y而非 x，考试时应该看清题目，tytxyxdddddd，yt yx tyx yyx dd dd dd dd dd dd224.求分段函数在分段点处的导数时必须利用导数的定义，会灵活运用导数的三个等价定义，xxfxxfxf x)()(lim)(000000 0)()(lim)(0xxxfxfxf xxhxfhxfxf h)()(lim)(00005.掌握可导、可微与连续间的关系，会讨论分段函数在分断点的连续性和可导性分段函数在分断点连续的充要条件为)()0()0(000xfxfxf， 注意两个等式缺一不可 。

若函数是以极限形式给出的，应先求极限，再讨论 6.掌握变上下限积分函数的求导及求极限问题，熟记变上下限积分函数的求导公式，)())(()())(()(d)()()()(xhxhfxgxgfxFttfxFxgxh则若，求导时注意： a.求导时是把所有的与积分变量有关的进行替换，和积分变量无关的不能动，例如：xxxxxfdttfdttfxxFttxfxF 000)()(])([)(d)()(则，b. )())(()(d)()(0)(xgxgfxFttfxFxg则，，前面要加一负号 c. 如下类型的变限积分求导时， 首先应做变量代换把x换到积分的上下限中去， 切不可直接求导， 例设)(xf是 连 续 函 数 ，x dttxfxF20)()(， 求)(xF， 求 导 数 时 ， 应 先 把)(xF变 形 ，xxduuftxuxF3 )()(，然后再求导7.会求曲线在某点的切线方程8.熟记常用函数的高阶导数公式，如)()1(n ax，)()(sinnx等，并会用常用函数的高阶导数公式求函数的高阶导数 9.对于幂指函数、连乘连除函数，求导用对数求导法 ，会求分段函数的导数10.会求函数在某点的微分，dxxfdf)(，注意dx不能少 。

11.注意以下记号的含义：a.))((xf—表示)(xf在)(x出的函数值，即)()())((xttfxfb.]))(([xf—表示求由f和构成的复合函数关于x的一阶导数，即)())((]))(([xxfxfc.dxxdf))((的含义和 b 一样，表示求由f和构成的复合函数关于x 的一阶导数三.证明不等式 证明不等式常用的方法有： a.利用函数的单调性证明不等式 （掌握） ， 注意有时需要把所证明的不等式先变形，然后再设辅助函数 b.利用函数的最值证明证明不等式（掌握） c.利用拉格郎日中值定理证明不等式（掌握）四.证明方程根的存在性问题a.讨论方程根的唯一性问题，常用的方法是闭区间上连续函数的零点定理 及罗尔中值定理（用此定理时一般是反正法） b.方程在某区间内至少有一个（或n个）实根的证明，常用的方法是罗尔定理 c.方程在给定区间上几个实根的证明，用上课讲过的方法五. 有关中值问题的证明 三、四、五的证明，尤其是五，希望大家把给大家发的参考书上相应的题目看懂六.积分的计算 1.掌握不定积分原函数的定义 2.掌握不定积分和定积分的换元积分法、分部积分法，对于定积分的换元积分法，一定要注意换元的 同时，必须换限，且是上对上，下对下。

3.熟记书 261 页定积分常用的公式， 当遇到积分区间是对称区间时，一定要先考虑“偶倍奇零”的性 质，当定积分的被积函数含有绝对值时，注意去掉绝对值时，一定要考虑被积函数的正负 4.对于广义积分， 注意可以用定积分的方法， 如分部积分法、 广义牛顿 -莱布尼茨公式等来计算， 另外， 对于广义积分，还应掌握如下类型题目的计算：其它010)(xxxf，000)( xxexgx ，求dxxygxfyF)()()(5.对于变限积分函数，应该掌握如下类型题目的计算设xxf)(，x dttfx1)()(，写出)(x在),(上的表达式6.对于定积分的其它问题，应掌握我上课讲的题型七.其它应该掌握的问题 1. 函数的极值、最值的求法，极值的定义、必要条件，函数在某点取极值的第一、第二充分条件，拐 点的定义，曲线凹凸性的判定 2.无穷小阶的比较定义，尤其是等价无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小的定义 3.定积分的几何应用： a.求平面图形的面积，注意，若平面图形是曲边梯形，则用矩形的面积代替曲边梯形的面积找面 积元素；若平面图形是曲边扇形，则用圆扇形的面积代替曲边扇形的面积找面积元素；b.求平面图形绕 x轴或y轴旋转所得旋转体的体积，并求体积的最小、最大值，一般和最值问题结合考。

4.判断函数间断点的类型 5.会求空间直线、平面的方程，两向量数量积、向量积的定义，空间曲线在坐标面上的投影曲线的方 程复习时，以十年考题、学校发的参考书、作业、书本上每章的总复习题及书本上具有代表性的题目为 准。