周培源理论力学竞赛指导课件.ppt

1 1、、、、图图图图示示示示平平平平衡衡衡衡系系系系统统统统中中中中，，，，物物物物体体体体I I、、、、IIII、、、、IIIIII和和和和IVIV之之之之间间间间分分分分别别别别通通通通过过过过光光光光滑滑滑滑铰铰铰铰链链链链A A、、、、B B和和和和C C连连连连接接接接O O、、、、E E为为为为固固固固定定定定支支支支座座座座，，，，D D、、、、F F、、、、G G和和和和HH处处处处为为为为杆杆杆杆约约约约束束束束尺尺尺尺寸寸寸寸如如如如图图图图，，，，b/ab/a=1.5=1.5物物物物体体体体IIII受受受受大大大大小小小小为为为为mm的的的的力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用假假假假定定定定全全全全部部部部力力力力均均均均在在在在图图图图示示示示平平平平面面面面内内内内，，，，且且且且不不不不计计计计所所所所有有有有构构构构件件件件的的的的自自自自重重重重，，，，杆杆杆杆O3GO3G的的的的内内内内力力力力不不不不为为为为零求杆O4HO4H和杆和杆和杆和杆O5HO5H所受内力之比所受内力之比所受内力之比所受内力之比解解解解：：：：由由由由物物物物体体体体IIII的的的的平平平平衡衡衡衡，，，，铰铰铰铰链链链链B B处处处处作作作作用用用用力力力力过过过过E E点。

点铰铰铰铰链链链链B B作作作作用用用用在在在在物物物物体体体体IIIIII上上上上的的的的力力力力为为为为F FB B铰铰铰铰链链链链C C作作作作用用用用在在在在物物物物体体体体IIIIII上上上上 的的的的 力力力力 为为为为FCx和和和和Fcy.对物体对物体对物体对物体IIIIII以物体以物体以物体以物体IVIV为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象 2 2 2 2、已知：火车、已知：火车、已知：火车、已知：火车( (P P) )沿子午线沿子午线沿子午线沿子午线自南向北以等速自南向北以等速自南向北以等速自南向北以等速v v v vr r r r行驶地球半径为球半径为球半径为球半径为R R R R 求：火车在北纬求：火车在北纬求：火车在北纬求：火车在北纬   o o时的时的时的时的绝对加速度绝对加速度绝对加速度绝对加速度北北vr北北yxzz´x´y´vr解：解：解：解：1. 1. 选择定系、动系、选择定系、动系、选择定系、动系、选择定系、动系、 动点动点动点动点定系－地心系定系－地心系定系－地心系定系－地心系OxyzOxyz动系－地球球体动系－地球球体动系－地球球体动系－地球球体O xO x´ ´y y´ ´z z´ ´动点－火车动点－火车动点－火车动点－火车P P北北yxzz´x´y´解：解：解：解：2. 2. 分析运动分析运动分析运动分析运动绝对运动－空间曲线运动；绝对运动－空间曲线运动；绝对运动－空间曲线运动；绝对运动－空间曲线运动；相对运动－沿着子午线的相对运动－沿着子午线的相对运动－沿着子午线的相对运动－沿着子午线的 等速圆周运动；等速圆周运动；等速圆周运动；等速圆周运动；牵连运动－地球绕牵连运动－地球绕牵连运动－地球绕牵连运动－地球绕OzOz´ ´轴轴轴轴 作定轴转动。

作定轴转动作定轴转动作定轴转动北北yxzz´x´y´aearaC解：解：解：解：3. 3. 分析加速度分析加速度分析加速度分析加速度 绝对加速度绝对加速度绝对加速度绝对加速度a aa a －所要求的－所要求的－所要求的－所要求的未知量；未知量；未知量；未知量； 相对加速度相对加速度相对加速度相对加速度a ar r －－－－ a ar r= =v vr r2 2/R/R方向指向地心；方向指向地心；方向指向地心；方向指向地心； 牵连加速度牵连加速度牵连加速度牵连加速度a ae e －－－－ a ae e= =R Rcoscos2 2a ae e 矢量垂直于矢量垂直于矢量垂直于矢量垂直于OzOz´ ´轴，方向指向轴，方向指向轴，方向指向轴，方向指向OzOz´ ´；；；； 科氏加速度科氏加速度科氏加速度科氏加速度a aC C －－－－ a aC C=2=2v vr rsinsin   方向沿过方向沿过方向沿过方向沿过P P点纬点纬点纬点纬线的切向，指向西线的切向，指向西线的切向，指向西线的切向，指向西。

vrω ω解：解：解：解：4. 4. 应用加速度合成定理应用加速度合成定理应用加速度合成定理应用加速度合成定理确定火车的绝对加速度确定火车的绝对加速度确定火车的绝对加速度确定火车的绝对加速度北北z´x´y´yxzaearaCvrω ω解：解：解：解：4. 4. 4. 4. 应用加速度合成定理确定火车的绝对加速度应用加速度合成定理确定火车的绝对加速度应用加速度合成定理确定火车的绝对加速度应用加速度合成定理确定火车的绝对加速度O OP Pk kk k 3 3、开有矩形槽的大盘以等角、开有矩形槽的大盘以等角、开有矩形槽的大盘以等角、开有矩形槽的大盘以等角速度速度速度速度绕绕绕绕O O轴旋转矩形槽内轴旋转矩形槽内轴旋转矩形槽内轴旋转矩形槽内安置物块安置物块安置物块安置物块- -弹簧系统，物块弹簧系统，物块弹簧系统，物块弹簧系统，物块P P的的的的质量为质量为质量为质量为m m，，，，弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k k 初始状态下，物块处于大盘初始状态下，物块处于大盘初始状态下，物块处于大盘初始状态下，物块处于大盘圆心圆心圆心圆心O O ，，，，这时弹簧不变形。

这时弹簧不变形这时弹簧不变形这时弹簧不变形求：求：求：求：1. 1. 物块的相对运动微分方物块的相对运动微分方物块的相对运动微分方物块的相对运动微分方程；程；程；程； 2. 2. 物块对槽壁的侧压力物块对槽壁的侧压力物块对槽壁的侧压力物块对槽壁的侧压力P Pk kk kk kk kP Px x´ ´y y´ ´O Ox x´ ´v vr ra ae en na aICIC解：解：解：解：1. 1. 非惯性参考系－非惯性参考系－非惯性参考系－非惯性参考系－O xO x´ ´ y y´ ´动点－物块动点－物块动点－物块动点－物块P P2. 2. 分析相对速度和各种加速分析相对速度和各种加速分析相对速度和各种加速分析相对速度和各种加速度：度：度：度：相对速度相对速度相对速度相对速度v vr r －－－－沿着沿着沿着沿着x x´ ´正向正向正向正向 牵连加速度牵连加速度牵连加速度牵连加速度a ae en n－－－－由大盘由大盘由大盘由大盘转动引起转动引起转动引起转动引起 科氏加速度科氏加速度科氏加速度科氏加速度a aICIC －－－－2 2m m       v vr rF FIeIen nF FF FN NF FICIC解：解：解：解：3. 3. 分析质点分析质点分析质点分析质点( (物块物块物块物块) )受力：受力：受力：受力：F F －弹簧力－弹簧力－弹簧力－弹簧力F F＝＝2 2k xk x´ ´F FN N －槽对物块的约束力－槽对物块的约束力－槽对物块的约束力－槽对物块的约束力F FICIC －科氏力－科氏力－科氏力－科氏力F FIeIen n －法向牵连惯性力－法向牵连惯性力－法向牵连惯性力－法向牵连惯性力 F FIeIen n＝＝m m 2 2 x x´ ´k kk kP Px x´ ´y y´ ´O Ox x´ ´v vr ra ae en na aICIC解：解：解：解：4. 4. 建立质点建立质点建立质点建立质点( (物块物块物块物块) )的相对的相对的相对的相对运动微分方程：运动微分方程：运动微分方程：运动微分方程：F FIeIen nF FF FN NF FICICk kk kP Px x´ ´y y´ ´O Ox x´ ´v vr ra ae en na aICIC解：解：解：解： 4. 4. 计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论物块在物块在物块在物块在x x´ ´＝＝0 0处的平衡位置为稳定平衡位置。

处的平衡位置为稳定平衡位置处的平衡位置为稳定平衡位置处的平衡位置为稳定平衡位置    当当当当时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力，物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为物块的相对运动为自由振动，其固有频率为解：解：解：解： 4. 4. 计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论    当当当当牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，物块不能在物块不能在物块不能在物块不能在x x´ ´＝＝0 0处附近作自由振动，物块在处附近作自由振动，物块在处附近作自由振动，物块在处附近作自由振动，物块在x x´ ´＝＝0 0处处处处的平衡是不稳定的的平衡是不稳定的的平衡是不稳定的的平衡是不稳定的    当当当当牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力物块在物块在物块在物块在x x´ ´＝＝0 0处为随遇的平衡位置。

处为随遇的平衡位置处为随遇的平衡位置处为随遇的平衡位置 4、水流以体积流量、水流以体积流量qV通过内径为通过内径为d1管管道，由内径为道，由内径为d2喷嘴喷出，管道内的喷嘴喷出，管道内的压力为压力为p1，，水流的密度为水流的密度为 管道与喷嘴之间通过法兰用喷嘴之间通过法兰用6个螺栓相连个螺栓相连求：每个螺栓的受力求：每个螺栓的受力 解：解：分析以喷嘴的左右截面分析以喷嘴的左右截面(1－－1和和2－－2)为边界所包含的质为边界所包含的质量流根据体积流量与速度和管道横截面积的关系，有量流根据体积流量与速度和管道横截面积的关系，有qv1122 解：解：分析以喷嘴的左右截面分析以喷嘴的左右截面(1－－1和和2－－2)为边界所包含的质量流根据为边界所包含的质量流根据体积流量与速度和管道横截面积的体积流量与速度和管道横截面积的关系，有关系，有qv1122 解：解：分析喷嘴内质量流的受力分析喷嘴内质量流的受力p1A1－－管道内的质量流对管道内的质量流对1－－1截截 面的压力；面的压力；p2A2－－ 喷嘴右侧大气对喷嘴右侧大气对2－－2截面截面 的压力的压力p2A2 0；；FN－－喷嘴内壁对质量流的约束喷嘴内壁对质量流的约束 力，沿着喷嘴的轴线方向。

力，沿着喷嘴的轴线方向FTF’N 解：解：应用动量定理的质量流形式的投应用动量定理的质量流形式的投影式影式每个螺栓受力每个螺栓受力考察喷嘴与法兰的平衡考察喷嘴与法兰的平衡FTF'N 5、空气流从台式风扇排出，出、空气流从台式风扇排出，出口处滑流边界直径为口处滑流边界直径为D，，排出空排出空气流速度为气流速度为v，，密度为密度为，风扇，风扇所受重力为所受重力为W 求：求：风扇不致滑落的风扇底座与风扇不致滑落的风扇底座与台面之间的最小摩擦因数台面之间的最小摩擦因数RC6 6、半径为、半径为、半径为、半径为r r、、、、质量为质量为质量为质量为 m m的均质的均质的均质的均质圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为 R R 的刚性的刚性的刚性的刚性圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动 在初始位在初始位在初始位在初始位置置置置 ＝＝ 0 0 ，由静止向下滚动由静止向下滚动由静止向下滚动由静止向下滚动求：求：求：求：1. 1. 圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；圆柱体的运动微分方程；2. 2. 圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；圆槽对圆柱体的约束力；3. 3. 微振动周期与运动规律。

微振动周期与运动规律微振动周期与运动规律微振动周期与运动规律RCs=0s+m mg gF FN NF F解：分析圆柱体受力解：分析圆柱体受力解：分析圆柱体受力解：分析圆柱体受力 m mg g－－－－重力；重力；重力；重力； F F－－－－滑动摩擦力；滑动摩擦力；滑动摩擦力；滑动摩擦力； F FN N－－－－圆槽对圆柱体的约束圆槽对圆柱体的约束圆槽对圆柱体的约束圆槽对圆柱体的约束力 圆柱体作平面运动，自由圆柱体作平面运动，自由圆柱体作平面运动，自由圆柱体作平面运动，自由度度度度N N＝＝1 1，，，，广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标q q＝＝  ，，，，弧坐标弧坐标弧坐标弧坐标s s与圆柱体质心轨迹与圆柱体质心轨迹与圆柱体质心轨迹与圆柱体质心轨迹重合RCs=0s+m mg gF FN NF F解：解：解：解： 1. 1. 圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程 根据自然轴系中，质心运动定根据自然轴系中，质心运动定根据自然轴系中，质心运动定根据自然轴系中，质心运动定理的投影形式，圆柱体的运动微理的投影形式，圆柱体的运动微理的投影形式，圆柱体的运动微理的投影形式，圆柱体的运动微分方程分方程分方程分方程C*C C* * 为瞬心，为瞬心，解：解：解：解： 1. 1. 圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程圆柱体的运动微分方程这是大小这是大小这是大小这是大小 角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程。

角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程角度都适用的圆柱体非线性运动微分方程解：解：解：解： 2. 2. 圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力圆槽对圆柱体的约束力由第二个运动微分方程由第二个运动微分方程由第二个运动微分方程由第二个运动微分方程圆槽对圆柱体的约束力为：圆槽对圆柱体的约束力为：圆槽对圆柱体的约束力为：圆槽对圆柱体的约束力为：—— —— 法向力法向力法向力法向力—— —— 摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力解：解：解：解： 3. 3. 微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律，非线性微分方程线性化，非线性微分方程线性化，非线性微分方程线性化，非线性微分方程线性化解：解：解：解： 3. 3. 微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：A A和和和和 为待定常数，由运动的初始条件确定为待定常数，由运动的初始条件确定为待定常数，由运动的初始条件确定。

为待定常数，由运动的初始条件确定解：解：解：解： 3. 3. 微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律微振动的周期与运动规律线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：线性微分方程的一般解为：A A和和和和 为待定常数，由运动的初始条件确定为待定常数，由运动的初始条件确定为待定常数，由运动的初始条件确定为待定常数，由运动的初始条件确定6、、质质量量为为m、、长长为为l的的均均质质杆杆AB，，自自水水平平位位置置自自由由下下落落一一段段距距离离h后后，，与与光光滑滑支支座座D相相碰碰撞撞，，BD=l/4假假定定恢恢复复因因数为数为e=1求：求：求：求：碰撞后的角速度和碰撞冲量碰撞后的角速度和碰撞冲量uCy 解解解解：：：：根根据据题题意意，，杆杆下下落落时时作作平移，与支座碰撞前的速度为平移，与支座碰撞前的速度为 设设I为为碰碰撞撞冲冲量量，，uC为为碰碰撞撞后后质质心心的的速速度度，，为为杆杆角角速速度度碰碰撞撞后杆作平面运动后杆作平面运动  vC 0= 0 设设I为为碰碰撞撞冲冲量量，， uC为为碰碰撞撞后后质质心心的的速速度度，，为为杆杆角角速速度度。

碰碰撞撞后后杆杆作作平平面运动 根据平面运动物体的碰撞定理根据平面运动物体的碰撞定理 利用利用恢复因数恢复因数表达式和已知条件，有表达式和已知条件，有uCy vC 0= 0uCy vC 0= 0运运动动学学补补充方程充方程,碰撞后碰撞后AB杆上杆上D点的速度点的速度 将此式在将此式在铅铅垂方向垂方向(y)投影，有投影，有 三三式式联立，解得联立，解得 uCy vC 0= 07、、车载杆件车载杆件AB在在B处为铰链约束，处为铰链约束，A处为光滑面约束，若已处为光滑面约束，若已知汽车以等加速度知汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、、长度为长度为l,杆件与车厢水平面的夹角为杆件与车厢水平面的夹角为求：求：求：求：A、B二处的约束力二处的约束力2. 2. 受力分析受力分析受力分析受力分析 杆件杆件AB跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有与汽车行跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有与汽车行驶加速度驶加速度a相同的加速度相同的加速度 应用达朗贝尔原理，在杆件应用达朗贝尔原理，在杆件AB各点上施加惯性力－各点上施加惯性力－ma；；解：解：解：解：1. 1. 运动分析与加速度分析运动分析与加速度分析运动分析与加速度分析运动分析与加速度分析杆件重力杆件重力W；；约束力约束力FNA，，FBx, FBy 。

解：解：解：解：3. 3. 应用动静法应用动静法应用动静法应用动静法解：解：解：解：3. 3. 应用动静法应用动静法应用动静法应用动静法解：解：解：解：3. 3. 应用动静法应用动静法应用动静法应用动静法解：解：解：解：4. 4. 讨论：本例若采用质点系普遍定理讨论：本例若采用质点系普遍定理讨论：本例若采用质点系普遍定理讨论：本例若采用质点系普遍定理?讨论：轿车以速度讨论：轿车以速度 v 行驶在行驶在水平路面，因故急刹车，滑水平路面，因故急刹车，滑行距离行距离 s，设轿车在刹车过程，设轿车在刹车过程中作匀减速运动，求地面对中作匀减速运动，求地面对前后轮的法向约束力前后轮的法向约束力已知轿车总质量为已知轿车总质量为m，，质心距地面高度为质心距地面高度为h，，距前后轴的水平距离距前后轴的水平距离分别为分别为 l1和和 l2解解：刹车过程中轿车质心加速：刹车过程中轿车质心加速度为度为加速度方向与速度方向相反，惯加速度方向与速度方向相反，惯性力为：性力为：应用动静法列方程：应用动静法列方程：解得：解得：比较比较：：当轿车静止或匀速运动时当轿车静止或匀速运动时。