北师大8下数学第一章三角形的证明.doc

第一章 三角形的证明知识点一：等腰三角形1、 等腰三角形的性质定理：①等腰三角形，两底角相等（等边对等角） ②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合 “三线合一”) ③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等2、 等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）知识点二：等边三角形1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于602、 等边三角形的判定定理： ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立； ②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论； ③假设不成立； ④原命题成立知识点四：直角三角形1、 直角三角形性质定理：①角：直角三角形，两锐角互余②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2、 直角三角形的判定定理：①角：两锐角互余的三角形是直角三角形②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。

3、 特殊的直角三角形： 在直角三角形中，有一个角是30，则它所对的直角边是斜边的一半 4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角知识点五：垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等知识点六：角平分线（点到边）1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等2、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等 专题一：等腰三角形的性质和判定知识点1：等腰三角形的边、角性质1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=BD，∠A=36，下列结论错误的是（　　） A．BD是AC边上的中线 B．BD是∠ABC的平分线 C．图中共有3个等腰三角形 D．∠DBC=362．已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于（　　）A．20 B．20或16 C．16 D．20或183．在△ABC中，AB=AC，OB=OC，点A到BC的距离是6，O到BC的距离是4，则AO为（　　）A．2 B．10 C．2或10 D．无法测量4．如图：∠EAF=15，AB=BC=CD，则∠ECD等于　 　．5．等腰三角形有一个角等于30度，则底边和腰上的高所在直线相交形成的锐角等于　　度．6．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=40，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠AEF的度数．7．（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84，求∠A的度数；（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．【举一反三】1.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．182.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50，则∠CDE的度数为（　　） A．50 B．51 C．51.5 D．52.53.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为　 　．4.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为　 　．5．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF．知识点2：等腰三角形的判定1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．6种3．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M、N，且MN∥BC，AB=7，AC=9，△ANM的周长是　 　4．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，△ACP是等腰三角形．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．7．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）8．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40，点D段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115时，∠BAD=　 　；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．【举一反三】1．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4 C．∠B=50，∠C=80 D．∠A：∠B：∠C=1：1：22.在△ABC中，∠A的相邻外角是70，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　） A．70 B．35 C．110或35 D．1103.△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定4．如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=60，PD=2cm，则△COP是　 　三角形，OP=　 　cm．5．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F．试说明△CEF是等腰三角形．8．在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒2个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？ 专题二：等边三角形的性质和判定知识点1：等边三角形的性质1．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（　　）A． B． C．2 D．22．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15，则∠2的度数为（　　）A．15 B．30 C．45 D．603．如图，∠AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直4．如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，AE=BD，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若BD=CE，AB=9，求线段DF的长．6．在等边三角形ABC中，D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，（1）请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论；（2）若D、E分别在边BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，请画图证明你的结论． 7.如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH． 【举一反三】1．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　　．2．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为　 　．3．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（　　） A．4 B．8 C．9 D．124．如图，已知等边△ABC，D、E分别在 BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交于F点．求证：∠AFE=60．5．如图，三角形是等边三角形，P是△ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ=2，求PE的长．（2）试判断△EFP的形状，并说明理由．知识点2：等边三角形的判定1．下列三角形中：①有两个角等于60的三角形；②有一个角等于。