函数周期性和对称性联系的讨论.doc

函数周期性和对称性联系的讨论 函数的周期性和对称性是高中数学函数的重要性质，也是一个难点在解题中经常用到本文就对此问题作一些探讨，提出几个结论，供大家参考一、基础知识 关于函数的对称性我们有下面两个定理：定理1 设a,b是任意常数，则函数f(x)的图像关于直线x=a+b/2对称的充要条件是f(a+x)=f(b-x).推论1 函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)进一步的，若令a=b=0则可得：推论2函数f(x)的图像关于直线x=0即y轴对称的充要条件是f(-x)=f(x).这正是偶函数的有关性质定理2 设a,b是任意常数，则函数y=f(x)的图像关于点（,0）对称的充要条件是f(a+x)=-f(b-x). 推论3 函数y=f(x)的图像关于点（a,o）对称的充要条件是f(a+x)=-f(a-x).进一步的，若令a=b=0则可得： 推论4 函数的图像关于点（0，0）对称的充要条件是f(x)=- f(x)，这正是奇函数的有关性质关于对称性和周期性的关系，有如下结论1 对称性+对称性周期性结论1 若y=f(x)关于直线x=a和x=b对称，则f(x)是T=2(a-b)的周期函数。

也就是说，如果一个函数的图像有两条对称轴，那么这个函数必定是周期函数，且周期为两对称轴距离的两倍结论2若函数y=f(x)关于点（a,o）和（b,0）对称，则f(x)是T=2（a-b）的周期函数也就是说，如果一个函数的图像有两个对称中心，那么该函数必定是周期函数，且周期为两个对称中心的距离的两倍结论3 若函数y=f(x)关于点（a,0）对称，同时关于直线x=b对称，则y=f(x)是T=4（a-b）的周期函数也就是说，如果一个个函数的图像既是中心对称图形又是轴对称图形，那么该函数必定是周期函数，且周期为对称中心到对称轴距离的4倍2 周期性+对称性对称性函数在具有周期性和点对称性的条件下具有如下性质结论4 若函数y=f(x)关于点（a,0）对称且其周期T=2b， 则f(x)的图像关于点（a+b,0）对称需要指出的是，如果一个函数具有周期性，且其图像对点对称图形，它的图像不一定是轴对称图形，比如正切函数 y=tan x, 其最小正周期为，它的图像由关于点（k/2，0）（kZ）对称，它不具有轴对称性；类似地，如果一个函数具有周期性，且其对象为轴对称图形，它也不一定是点对称图形，比如函数y=,他的周期是,且关于直线x=k（kZ）对称，但它不具有点对称性。

二、相关应用:1、在求函数解析式的应用：例1设函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数，当x≥0时，求x＜0时，函数f(x)的解析式解 设x＜0,则-x＞0.∴ 当x＜0时例2 已知对函数f(x)定义域上任意x满足f(x+2)=f(x),x∈时解 由题意函数f(x)的周期为2.设 则：例3 已知f(x)是定义在R上的函数，满足解 ∵∴函数的周期为2 设∵函数的周期为2.∴例4 已知是定义在R上的函数， 解 ∵例5 已知函数 设x＜0,则- x＞0.例6 设是在（-∞，+∞）上以4为周期的函数，且是偶函数，在区间上时，f(x)的解析式。