辽宁省名校联盟2023-2024学年高一上学期12月份联合考试数学（解析版）.docx

辽宁省名校联盟2023年高一12月份联合考试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题，，则的否定为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案.【详解】根据特称命题的否定为全称命题，所以命题的否定为：，.故选：.2. 已知函数，则（ ）A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】，则.故选：B.3. 已知，，则（ ）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出a，根据对数的运算性质，即可求得答案.【详解】由可得，而，故，故选：C4. 已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得.【详解】由一元二次不等式的解集为，得是方程的两个不等实根，并且，于是，即有，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故选：D5. 已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案.【详解】根据题意：且，解得，即，由，解得，故.故选：A.6. 某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则28天后该植物的长度是原来的（ ）A. 倍 B. 倍C. 倍 D. 倍【答案】B【解析】【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得28天后该植物的长度是原来的多少倍.【详解】设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，故，即，即28天后该植物的长度是，即为原来的倍，则，即28天后该植物的长度是原来的倍，故选：B7. 设且，若函数是上的奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数为奇函数可得，结合指数幂的运算化简，即可求得答案.【详解】由于函数是上的奇函数，故，即，故，即，因为，故，故选：A8. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，函数在上单调递增，根据和结合函数单调性得到答案.【详解】，即，设，函数在上单调递增，①，即，故；②，即，故；综上所述：.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，，则下列各选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由不等式，，可得且，根据不等式的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由不等式，，可得且根据不等式的基本性质，可得，，，，所以A、B、D正确，C不正确.故选：ABD.10. 已知全集，集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得.【详解】全集，集合，，则或，对于A，，A不是；对于B，，，B是；对于C，，C不是；对于D，，D是.故选：BD11. 已知函数，则（ ）A. 的图象关于y轴对称 B. 的单调递增区间为C. 的最小值为2 D. 【答案】ACD【解析】【分析】计算得到A正确，举反例得到B错误，根据均值不等式计算C正确，确定函数单调性，根据得到答案.【详解】对选项A：定义域为R，则，函数为偶函数，正确；对选项B：，，，错误；对选项C：，当且仅当时等号成立，正确；对选项D：当时，设，，则在上单调递增，故在上单调递增，，，，即，故，正确；故选：ACD.12. 已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】确定函数单调性，计算，，得到，A错误，计算，，得到，B正确，根据函数的对称性得到，化简得到C正确，根据均值不等式计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，函数在上单调递减，，，故，错误；对选项B：，函数在上单调递增，，，故，正确；对选项C：，即，，即，和关于对称，关于对称，故和关于对称，，即，正确；对选项D：，，故，即，等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在区间上的平均变化率为______.【答案】【解析】【分析】根据给定的函数，利用函数平均变化率的定义列式计算即得.【详解】函数在区间上的平均变化率为.故答案为：14. 若函数在区间上单调递增，请写出一个满足条件的区间为______.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】令，根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合指数函数的单调性和复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由函数，令，可得函数在上单调递减，在上单调递增，又由函数在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，则函数的一个单调.故答案为：（答案不唯一）.15. 已知实数，当取得最小值时，______.【答案】-1【解析】【分析】将化为，利用基本不等式可确定取得最小值时的值，即可求得答案.【详解】由题意，可知，故，当且仅当且，即时等号成立，故，故答案为：16. 函数的最大值为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的定义域，按分段讨论，并变形函数式，利用换元法求出最大值即得.【详解】函数的定义域为，函数在上单调递增，当时， 单调递增，于是函数在上单调递增，当时，，当时，，，显然，令，则，于是，当且仅当，即时，，所以当时，函数取得最大值.故答案为：【点睛】思路点睛：求含有二次根式的函数最值，可通过换元转化为熟悉的函数，再利用相应的方法求最值．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知全集，，，.（1）若，且，求的值及集合；（2）若，求的值及.【答案】（1），； （2），.【解析】【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合.（2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解.【小问1详解】依题意，，由，且，，得，即，因此，解得，经验证符合题意，解方程，得或，，所以，.【小问2详解】依题意，，由，得，由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意，，则，所以，.18. 已知函数的定义域为，.（1）求集合；（2）设全集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式求解即得定义域.（2）求出，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】由函数有意义，得，解得，即，所以.【小问2详解】由（1）知，由，得，由“”是“”充分不必要条件，得Ü，即Ü，因此或，解得或，即，所以的取值范围是.19. 已知幂函数的图象过点.（1）求实数的值；（2）设函数，用定义证明：上单调递减.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由幂函数定义求出，再利用函数定义域确定值，进而求出的值.（2）利用（1）的结论，利用函数单调性定义证明单调性.【小问1详解】由函数是幂函数，得，解得，当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意，当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，所以，函数，.【小问2详解】由（1）知，函数，则函数，，，由，得，且，因此，即有，则，所以函数在上单调递减.20. 某乡镇全面实施乡村振兴战略，大力发展特色产业，为提升特色产品的知名度，在一家广告设计公司制作了一批宣传特色产品的展牌.该公司制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为.（1）当制作多少张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小?（2）若公司每张展牌的售价为550元，公司要想盈利，对制作展牌张数有何要求?制作多少张展牌可盈利最大?（盈利总售价总成本）【答案】（1）100张 （2）制作展牌张数需满足集合，125张【解析】【分析】（1）由题意用总成本除以张数即可得平均成本的表达式，利用基本不等式可求得答案；（2）求出盈利的函数表达式，解一元二次不等式可求得制作展牌张数的要求，结合二次函数的最值可求得制作多少张展牌可盈利最大.【小问1详解】由题意知制作张展牌与其总成本（元）之间的函数关系可近似地表示为，故每张展牌的平均成本为（元），则（元），当且仅当，即时等号成立，当制作100张展牌时，能够使得每张展牌的平均成本最小；【小问2详解】设公司盈利为元，则，令，则，故公司要想盈利，制作展牌张数需满足集合；又，当时，取到最大值16875，故制作125张展牌可盈利最大.21. 已知函数（且）是指数函数.（1）求的解析式；（2）若不等式对任意恒成立，求取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用指数函数的定义即可得解；（2）代入，将不等式转化为恒成立，从而分类讨论，结合基本不等式即可得解.【小问1详解】因为且是指数函数，所以，解得，所以的解析式为.【小问2详解】将代入不等式，得，由于，上式同时除以，得，整理得，因为，令，则，所以不等式转化为，整理得恒成立，当时，恒成立.当时，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围是.22. 小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“”：对于任意实数a，b，都有，通过研究发现新运算满足交换律：.小颖提出了两个猜想：，，，①；②.（1）请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）（2）设且，，当时，若函数在区间上的值域为，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）无论选①还是选②，均要根据新运算定义分别计算两个猜想等式的两边，比较其结果，即可证明结论；（2）根据新运算定义化简可得的表达式，。