含参数的类二次函数导数综合问题的研究.docx

含参数的“类二次函数”导数综合问题的研究 吴必潜【摘要】导数问题是高中数学的重点和难点，导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题，在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题，如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题，显得尤为重要，本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为四种类型，并提出分类的标准.【关键词】二次函数；导数；参数微积分是数学发展史上继欧氏几何又一个划时代意义的伟大创造，是数学史发展的里程碑，也是衔接高中数学与大学数学的重要桥梁.导数问题是高中数学的重点和难点，导数问题归结为利用导数来讨论函数的单调性问题、拐点以及最值问题，在导数综合问题中总是涉及一些问题求导后可化简成二次函数的“类二次函数”问题，由于这类问题往往涉及对数函数、指数函数以及对参数的讨论，因此，很多学生对“从何处着手”“关键点在哪里”“怎样讨论”等问题往往表现出一片茫然.如何解决以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题，显得尤为重要，本文将以“类二次函数”为背景的含参数的导数综合问题划分为三种类型，并提出分类的标准.类型一：已知参数大范围，根据题意细分小范围探究1 已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）.（1）当a>0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a<0时，求函数f（x）在区间12，1上的最小值.解 （1）f′（x）=2ax+（1-2a）-1x=2ax2+（1-2a）x-1x=（2ax+1）（x-1）x.因为a>0，x>0，所以2ax+1>0，解f′（x）>0，得x>1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）.（2）当a① 当-12a>1，即-12所以f（x）在A=12，1上的最小值为f（1）=1-a.② 当12≤-12a≤1，即-1≤a≤-12时，f（x）在12，-12a上是减函数，在-12a，1上是增函数，所以f（x）的最小值为f-12a=1-14a+ln（-2a）.③ 当-12a<12，即a<-1时，f（x）在12，1上是增函数，所以f（x）的最小值为f12=12-34a+ln2.综上，函数f（x）在区间12，1上的最小值[f（x）]min=12-34a+ln2，a<-1；1-14a+ln（-2a），-1≤a≤-12；1-a，-12类型二：双参数，定一参变一参探究2 已知函数f（x）=13ax3+bx2+x+3，其中a≠0.（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？（2）已知a>0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围.解 （1）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，f（x）要取得极值，方程ax2+2bx+1=0必须有解，所以Δ=4b2-4a>0，即b2>a，此时方程ax2+2bx+1=0的根为x1=-2b-4b2-4a2a=-b-b2-aa，x2=-2b+4b2-4a2a=-b+b2-aa，所以f′（x）=a（x-x1）（x-x2）.当a>0时，x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）增函数极大值减函数极小值增函数所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值.当a<0时，x（-∞，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+∞）f′（x）-0+0-f（x）减函数极小值增函数极大值减函数所以f（x）在x1，x2處分别取得极大值和极小值.综上，当a，b满足b2>a时，f（x）取得极值.（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立.即b≥-ax2-12x，x∈（0，1]恒成立，所以b≥-ax2-12xmax.设g（x）=-ax2-12x，g′（x）=-a2+12x2=ax2-1a2x2，令g′（x）=0，得x=1a或x=-1a（舍去），当a>1时，0<1a<1，当x∈0，1a时，g′（x）>0，g（x）=-ax2-12x为单调增函数；当x∈1a，1时，g′（x）<0，g（x）=-ax2-12x为单调减函数.所以当x=1a时，g（x）取得最大，最大值为g1a=-a，所以b≥-a.当0当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-a+12，所以b≥-a+12.综上所述，当a>1时，b≥-a；当0【参考文献】[1]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2007.[2]罗增儒，罗新兵，陶君.波利亚的怎样解题表[J].中学数学教学参考，2004（4）：14.