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应用高斯定理时如何运用对称性分析鞠彬 水文4班 0901010412 任课老师：巩江峰高斯定理是电磁学理论的基本方程之一，高斯定理的一个重要 应用就是计算带电体周围的电场强度本文就介绍了应用高斯定理时 进行对称性分析提供两种方法，即：1•静电平衡分析法2•几何分析 法其实，这个问题的关键在于我们如何分析场强的对称性根据 高斯定理的数学形式可以看出，当电荷按一定对称性分布时，我们选 择一个闭合面，即高斯面使面上各点的E值相同且与面垂直，这样 我们可以计算出曲面内的总电荷Q,求出E来（其中N为闭合曲面的 法线方向对非对称性问题，从理论上也可应用高斯定理，但实际 上不易求解这样就需要分析其场强的对称性下面就应用“高斯定理”时分析对称性的两种方法分别说明静电平衡分析法从文章我们知道当场强对于带电体具有对称性分布时，必须同时满足两个要素A•电力线与带电体表面垂直B.在距其表面等距的各 个点的E值都相等如果某一带电体的场强分布同时满足这两个要素, 我们就可认为具有对称性分布遇到一均匀带电的物体时，如何进行 分析呢我们可以从静电平衡的观点出发去分析通常我们总是把一个 带电体假定为一个良绝缘体，或是一个良导体，在良绝缘体中自由 电荷是不移动的，因此，就有可能在绝缘体中得到均匀的或不均匀 的少电荷分布。

然而，在良导体中自由电荷的活动性很大，同时，在 平衡条件下电荷总是分布在导体的表面上舀当带电体达到静电平衡 时，在导体上没有电荷作定向运动，因此导体内没有电流此外，因 为的任何平行于曲面的分量都票引起电荷运动，并形成电流，所以 可以得知，在平衡状态时，接近金属或导体表面的电力线一定与其 表面垂直下面我们再判断，当带电体达到静电平衡均匀带电时、距 其表面筹距的各点场强是否都相等，如果距其表面等距的各个点都 处于同等地位，即各个点的场强都相同，我们就可以认为是对称分 布的根据这一理论我们就可以进行具体对称性分析，文章从几个特例中逐一说明1.半径为R带电荷Q的球体设电量均匀分布于球体内当半径为带电荷的球体达到静电平衡时，在平衡的球体上没有电荷作定向 移动，因此球体内没有电流因为的任何平行于球面的分量都要引起 电荷运动，并形成电流，所以可以得知，当带电球体达到平衡时接 近其表面的电力线一定与球面垂直又因球体内电荷是均匀分布的, 所以在距球面上等距的各个点都处于同等地位，或者说这些距离球 面等距的点，对于均匀带电的球体来说谁也不能比谁更优越，即等 距各点的值都相同，所以该带电体的是以球对称分布的。

2 •无限长均匀带电园柱当无限长均匀带电园柱达到平衡以后，园柱内没有电荷作定向移动, 因此内部没有电流，因为E的平行于园柱表面的任何分量都可以引起 电流，所以接近圆柱表面的E只能垂直于该表面进行分布又因为是无限长园 柱且电荷在园柱内均匀分布，所以距园柱表面等距的各个点都处于 同等地位，也就是说相对于无限长均匀带电园柱来说，这些距园柱表 面等距的点谁也不能比谁更优越如果是有限长情况就不同，即等距 的各点上E值的大小都相等如果我们把有这些处于同等地位且距园 柱表面等距的点连起来就形成一个园柱面，所以该带电体是以园柱 面对称分布的3 •无限大均匀带电平板当无限大均匀带电平板达到平衡以后，平板内“没有电荷作定向移 动，因此内部没有电流，因为的任何平行于表面的分量都能引起电 流，所以在接近导体表面上只能处处垂直于平板表面又因无限大带 电平板内电荷均匀分布，所以在距平板表面等距的各个点都处于相 同地位，也就是说相对于无限大的均匀带电平板这些距其表面等距 的各个点谁也不比谁更优越如果是有限大情况就不同，即等距各点 的值大小相同，如果我们把这些等距的所有点连起来，就构成与平 板为中心平行于平板表面的两个平面，所以该带电体的场强是以无 限大平板为对称分布的。

二、几何分析法关于对称性的分析，我们还可以采用另一种方法对于任一给定 的均匀带电的几何体，我们首先看能否找到一几何中心，而在这带 电体表面外任意一点处与几何中心的连线垂直于该表面，把这一几 何带电体分割成完全对称的两部分，而对距这一几何带电休表面等 距的所有点又处于同等地位，如果这一几何均匀带电体符合上述要 求，我们就认为这一带电体是以对称分布的，下面还是通过几个特 例进行说明1 •均匀带电的球壳我们在球壳外任选一点，连接到球住壳几何中心，则通过的平面把 球壳分割成对称的两部分，由于电荷分布的对称性，在这两个半球 壳上，总可以找到相对中心平面互相对称的两电荷元如图中的中， 或者说对任意给定点来说这两部分是处于同等地位它们在点的场强 大小相等，场强方向相对线应该是称的因此这两个对称电荷元都 考虑进去，则点的总场强方向也应沿线，即沿球的半径方向，又因 为均匀带电球壳上的电荷分布是球对称的，这就是说，在距其球壳 等距的每一点，相对于球壳来说都处于等同的地位，因此，这些距 球壳等距的所有点场强大小应相同，如果我们把这些点全部连起来, 就构成一场强等值的球面从以上讨论可知封闭球面上各点的场强大 小相等，方向沿各点处的矢径方向。

这就是说，均匀带电球壳的电场 分布是球对称的2 •无限长均匀带电园柱我们在园柱外任选一点，过点向园柱轴线引垂线交于点即 可认为是我们所确定的几何中心因为园柱是无限长的，所以园柱轴 线上的每一点都可当作园柱的几何中心点过叩线并垂葺于轴线的平 面可把园柱分割成对称的两分，由于电荷的均匀分布，所以这两部 分是完全对称的，我们总可以在这两部分找出两个相对于中心平面完全对称的电荷元今，或者说对任意给定的点来说这两部分是处于 同等地位它们在点的场强大小相等，场强方向相对线是对称 的因此把这两个电荷元都考虑进去，则详点的总场强方向也应沿线，即沿园柱的半径方向又因园柱表面电荷分布是均匀的，而园柱 又为无限长，所以距园柱表面等距的各个点都处于向等地位，也就是说这些距园柱表面等距的所有点场强的大小应相等，如果我们把 这些距园柱表面等距的所有点都连起来，就会构成一个与园柱同轴 的柱面从以上讨论可知，与园柱同轴柱面上的场强大小相等，方向 沿各点处园柱面的径向这就是说，均匀带电无限长园往电场分布是 以柱面为对称的3 •无限大均匀带电平板我们在平板外任选一点，过点向平板平面引垂线交于平板o点，贝！］ 点即可认为是我们所确定的几何中心因为是无限大平板，所以平板 上的每一点都可当作无限大平板的中心点。

过作一垂直于平板的平 面，则该平面可把无限大平板分割成对称的两部分，由于电荷是均 匀分布，所以这两部分是完全对称的，我们总可以在这两部分相对 于中心平面找到两个完全对称的电荷元，，或者说对任意给定的点来 说这两部分是处于同等地位它们在点的场强大小相等，场强方向相 对线是对称的因此把这两个电荷元都考虑进去，则点的总场强方 向也应沿线，即与无限大平板平面相垂直又因无限大平板表面电荷 分布是均匀的，而平板又为无限大，所以距平板表面等距的各个点 都处于同等地位，也就是说这些距无限大平板表面等距的所有点场 强的大小相等，如果我们把这些距平板表面等距的所有点都连起来, 就会构成两个与平板平行分立于左右的两个平面从以上讨论可知, 无限大均匀带电平板电场分布是以无限大平板为对称分布的，场强 方向垂直于平板沿表面法线方向通过这篇文章我们知道，在以上对称性分析的基础上，可选择合适的高斯面并应用高斯定理计算场强，高斯面的选取遵循计算方 便的原则，使高斯面上一部分场强通量为零，一部分高斯面上场强大 小相等，这样就能运用对称性的原理应用高斯定理求解电学问题，这 也是我们这篇文章所提出的意图。