挑战满分大题专练（十四）—导数（3）.doc

挑战满分大题专练（十四）—导数（3）1．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）若对任意都有恒成立，求的最大整数值．解：（Ⅰ），则，所以，，则，所以曲线在点，处的切线方程为，即．（Ⅱ）对任意都有恒成立，即，因为，所以，所以，令，则只需即可，，令，则恒成立，所以在上单调递增，因为（1），（2），所以存在唯一一个使得，所以当时，，，当，时，，，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，由得，所以，故的最大整数值为2．2．已知函数，．（1）当时，求证：对任意，；（2）若函数图象上不同两点，到轴的距离相等，设图象在点，处切线交点为，求证：对任意，点在第二象限．证明：（1）根据题意，对任意，恒成立，即证明恒成立，即证恒成立，当时，，，令，则有，即得函数在上单调递增，，即得（2）的定义域为，，即得当时，，则函数在上单调递增，设点，，，，则有，，，此时假设，则，由此可得图象在点，处的切线方程可分别表示为：联立可得，交点的坐标即为令，则有，即得恒成立，；由此可得，点在第二象限．3．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．解：（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．4．已知函数，其中且．（1）当时，求函数的极小值；（2）若恒成立，其中为自然对数的底数，求的取值范围．（1）根据题意，当时，，定义域为，，令，则有，；，即得函数在上单调递减；在，上单调递增；函数在处取得极小值为：；（2）根据题意，，由端点效应可得，（1）．此即为恒成立的必要条件．下面证明充分条件，即：当时，，令，则有，，当时，；当时，，又（1）在上单调递增，在上单调递减，（1），成立，，．5．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，令，可得或，令，可得或，令，可得，所以在，上单调递增，在上单调递减．（2）等价于，即①，当时，①式恒成立，；当时，，故当时①式恒成立；以下求当时，不等式恒成立，且当时不等式恒成立时的取值范围，令，，，记，△，当时，△，，，等号不恒成立，故在上单调递增，又（1），故时，（1），，（1），即当时，①式恒成立，当时，△，，（1），故的两个零点即的两个零点，，，在区间，上，，，是减函数，又，所以（1），即当时，①时不能恒成立，综上所述，实数的取值范围是，．6．设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，，所以，令，所以，当时，，故为增函数；当时，，故为减函数，所以（1），即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．（Ⅱ）因为，所以且，所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，令，，则且（1），当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得（1），即时不满足题意；若，，则，故在上为减函数，所以（1），所以恒成立，故符合题意．综上所述，实数的取值范围是，．。