【2017年整理】东山稿：建构模型,全方位构建乘法概念.ppt

全方位构建乘法概念,,,云健小学 陈伟君,建构模型,乘法,,求几个相同加数和的简便运算,？,乘法？,小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构!而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构!是最重要的结构包括 乘法及与之相关的倍、运算规律、面积、体积、表面积、单价—数量、速度—时间、工作时间—工作效率等概念之和自二年级初步认识乘法之后，随着数域的扩展以及对丰富的乘法现实模型的认识，逐步实现乘法概念的建构数学模型,“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述数学模型,《小学数学核心素养的内涵与价值》: 明确提出了小学数学的10个核心素养——数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析能力、运算能力、模型思想、推理能力、应用意识和创新意识2011年版新课标,,核心概念,数学模型,基本概念 基本算法,张奠宙教授,每.......共......,连加,每份数x份数=总数,小明今年9岁，爸爸的年龄是小玲的5倍，爸爸今年多少岁?,4个男孩与3个女孩一起出去游玩，现在要选取一个男孩和一个女孩外出购物问一共有多少种可能的选取方法？,已知长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求这 一 长 方 形 的 面 积 是多少？,最基本,,,乘数地位相同,二、不同年级乘法不同现实模型的分布,——人教版教材,（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）,人教版教材中不同年级乘法不同现实模型的分布,人教版教材中不同年级乘法不同现实模型的分布,（表格中的数据表示教材中出现的具体问题的个数）,乘法不同现实模型,一步乘法的现实情境问题 共计307 个 ，等量组的聚集模型问题有 148个 ，占总数的48.2％。

最基础的乘法模型,,乘法不同现实模型,一步乘法的现实情境问题 共计307 个 等量组的聚集模型—— 148个 ，占总数的48.2％最基础的乘法模型,,配对模型只有12个——渗透数学思想方法的载体,单价—数量模型——10个,速度—时间模型——12个,工时—工效模型——3个,乘法不同现实模型,二年级至三（上）,——等量组的聚集模型和倍数模型,三年级下,——16个等量组的聚集模型和17个矩形模型,四年级,——4个单价.数量模型和6个速度.时间模型,乘法不同现实模型,,五年级小数乘法不同现实模型的分布,编排呈分散趋势,教材中力求通过各种现实模型问题的呈现，让学生体会整数乘法的各种现实模型对小数乘法同样适用 （配对模型除外），从而建构小数乘法的概念乘法不同现实模型,六年级分数乘法学习——倍数模型,考虑到分数与小数的关联性，六年级分数乘法的编排，不再呈现丰富的现实模型，而是更集中于乘法的倍数模型六年级乘法不同现实模型的分布,倍数模型问题的数量远远多于其他模型问题的数量，达到54个，占全年级乘法模型总数的 77.1％，反映出学生对分数乘法概念的学习主要是通过倍数模型完成的一）突出等量组的聚集模型 ——乘法概念建构中的基础作用,人教版教材中呈现的第一个例题都是等量组的聚集模型：将几个相同加数的和改写成乘法形式，实现对整数、小数、分数乘法概念的建立。

一）突出等量组的聚集模型 ——乘法概念建构中的基础作用,每一个新的乘法模型的出现，都是先将其转化成等量组的聚集模型，如倍数模型、面积模型等都是如此，然后才将其作为一种新的模型加以应用一）突出等量组的聚集模型 ——乘法概念建构中的基础作用,多种表征方式的相互转换,动作表征,语言表征,图形表征,符号表征,（二）.乘法倍数模型的学习 ——需要纵向的分析和研究,第二个乘法现实模型,,1.倍数模型是加法结构到乘法结构的转折点,2.教师要对倍的现实模型进行纵向分析和研究,整数乘法,小数乘法,分数乘法,求一个数的几分之几,求一个数的几倍,（三）.充分发挥矩形模型的优势,形象 直观,为学生理解等量组的聚集模型提供了直观表象!而且还可以进一步推广用来理解分数乘法的算理认识乘法,（三）充分发挥矩形模型的优势,学生对矩形模型的认识!不会因数据的变化而产生认知上的困难! 教师在组织学生学习小数乘法和分数乘法时，可以此作为重要的现实模型四）同样的关系模型，不同的处理方式,,三个数量关系模型,单价——数量模型,速度——时间模型,（例题中呈现）,（例题中呈现）,工时——工效模型,（练习中出现）,这样的安排是基于学生对此模型有着丰富的生活经验! 单价数量模型——只要稍加提炼即可。

速度时间模型——数量关系更是抽象难懂!需要教师采取直观的方式!帮助学生在丰富直观感受的同时!抽象出数量关系模型,四年级上册,从散点式到结构化!实现对整数乘法概念的第一次系统建构!同时也为五年级利用多种模型学习小数乘法奠定基础五）在梳理中实现对乘法意义的建构,第一次系统建构,四年级,学习各种主要乘法模型后,分数和小数的本质是相同的，分数乘法和小数乘法的现实模型是相同的!配对模型只适用于整数乘法五）. 在梳理中实现对乘法意义的建构,第二次系统建构,六年级,完成分数乘法后,实现直观到抽象的嬗变 ——建构倍数模型,四.教师在教学中又该如何有效利用情境建构模型呢？,两个量之间的比率关系,一个数中包含了几个另一个数,已知一个数的几倍是多少，求这个数,学生接触的第二个乘法现实模型，也是学生第一次接触“率”的概念加法结构,乘法结构,必须紧紧围绕概念的本质属性，创设符合学生认知特点，同时又能解释“倍”的数学本质的活动，让学生在丰富多样的活动中，实现倍数模型由直观到抽象的嬗变1）建构标准结构的倍数模型，初识“倍”,（1）从图上你能得到哪些 数学信息？（2）猜一猜，为什么可以说“黄花的朵数是蓝花的2倍”？（3）把3朵蓝花表示1份。

6朵黄花需要圈几个圈？就是有这样的几份？（4）总结：蓝花有3朵，黄花有2个3朵，我们就说“黄花的朵数是蓝花的2倍环节一,1.以“2倍”为着力点，建立“倍”的直观模型,（1）建构标准结构的倍数模型，初识“倍”,（1）小红和小明都说：“黄花 的朵数是蓝花的 2 倍”，他们说得对吗？为什么？先在图上圈一圈，再同桌交流2）两幅图中花的朵数各不相同，为什么都可以说“黄花的朵数是蓝花的2倍”呢？(3)每一幅图，如果把蓝花的朵数圈起来看作1份，黄花的朵数就都有2个这么多环节二,,,,,,,（1）建构标准结构的倍数模型，初识“倍”,（1）这个说法正确吗？ 怎么改就正确了？,环节三,1.以“2倍”为着力点，建立“倍”的直观模型,师：小红的说法对吗？ 说说你是怎么想的红花有4朵，黄花有2个4朵，所以黄花的朵数是红花的2倍2）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍”环节一,师：小红的说法对吗？ 说说你是怎么想的红花有4朵，黄花有2个4朵，所以黄花的朵数是红花的2倍2）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍”环节一,无序到有序,a.师：现在小红的说法对吗？,,有5朵,有10朵,红花的朵数是黄花的2倍,（2）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍”。

环节二,b.如果把黄花用黄圆表示， 红花用红圆表示你能说出它们之间的关系吗？,,（2）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍”环节二,,,,a.师：现在小红的说法对吗？b.如果把蓝花用蓝圆表示， 红花用红圆表示你能说出它们之间的关系吗？C.现在你能说出它们之间的关系吗？,（2）建构非标准结构的倍数模型，变式“倍”环节二,1.以“2倍”为着力点，建立“倍”的直观模型,,飞跃,其目的在于引导学生聚焦“倍”的量性特征，并与有序排列的直观图进行比较，初步感悟“形”与“数”的对应关系，为从“形”抽象到“数”做好充分准备打乱实物排列顺序,只出示文本数据,由实物图抽象成圆片或线形图,a.现在红圆的个数是黄圆的几倍？为什么？(黄圆个数为1份，红圆有这样的3份，所以是黄圆的3倍)b.再添1份呢？c.10份呢？100份呢？你有什么发现？(红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍)d. 在作业纸上画出红圆的个数是蓝圆的3倍,先思考，再同桌交流2.以“倍”的内涵为拓展点，完善“倍”的直观模型,环节一,（1）认识“几倍”,a.有个小朋友是这样画的， 可以吗？b.如果黄圆有6个，红圆的个 数是它的 4 倍，红圆应该 画几个？5 倍呢？9倍呢？c. 红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍,,,,,,,,,,,,,,,,,,环节一,（1）认识“几倍”,,,,,,,,,,,,,,a.红圆的个数是黄圆的多少倍？你 是怎么想的？b.黄圆去掉1个，现在红圆还是蓝圆 的3倍吗？黄圆再去掉1个呢？ （圈一圈，再填一填。

c：红圆的数量没有变，为什么倍数 在变？（每份圈几个要看黄圆，它是比的标准黄圆发生变化了，倍数也就发生变化了）d：你还能想到黄圆可能是几个？红圆和黄圆之间的倍数关系是怎样的？,,环节二,（1）认识“几倍”,2.以“倍”的内涵为拓展点，完善“倍”的直观模型一是通过“一份数”不变，份数变化，拓展认识几倍， 抽象出“红圆有这样的几份，就是黄圆的几倍借助直观模型,变式,发现本质,二是通过总数不变，“一份数”变化而引发的 倍数关系发生变化，感受比的标准的重要性a.今天我们认识了“倍”这个新 朋友，它就藏在我们身边b.根据图，你能说说谁是谁的几 倍吗？c.师：你可以用圈一圈的方法， 也可以用画竖线分一分的方法，还可以用其他的办法来解决比一比，谁的想法最多？,3.以“倍”的本质为提升点，抽象“倍”的数量模型感性认识——理性认识,直观模型——抽象模型,对“倍”的认识达到了概念性理解水平,3.以“倍”的本质为提升点，抽象“倍”的数量模型建构起两数倍数关系的数学模型,经历符号再创造过程(建构等量组的聚集模型）实现直观到抽象的嬗变(建构倍数模型）,现实问题数学化提炼（建构常见的数量关系模型）,,欢迎指导！,。