初高中衔接二次函数专题.doc

3 二次函数基础知识1．二次函数的三种表示方式：（1）一般式：y=ax2 +bx+c；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n（常用，便于求最值、画图）；（3）交点式： y=a(x-x1 )(x-x2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决4．二次函数的最值问题（1）二次函数的最值．二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：当时，函数在处取得最小值，没有最大值；当时，函数在处取得最大值，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤： 第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．（2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析如：求在（其中）的最值的步骤：第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论： ①，即对称轴在的左侧； ②，即对称轴在的内部； ③，即对称轴在的右侧。

2） 若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：①，即对称轴在的中点的左侧；②，即对称轴在的中点的右侧典型例题题型一、自变量为全体实数时的最值【例1】求下列函数的最大值或最小值． （1）； （2）．题型二、自变量限制在某区间内时的最值【例2】当时，求函数的最大值和最小值．【例3】当时，求函数的取值范围．题型三、自变量所在某区间变动时的最值【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．【例5】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．【例6】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？达标训练1．选择题：（1）已知一个二次函数的顶点坐标为，且过点，则这个二次函数的解析式为 （ ） A． B． C． D．2．已知函数在是单调递减的，则实数的取值范围为 （ ） A． B． C． D．3．二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. [2,4]2．填空：设函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b． （1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,a的取值范围是 ; （2）如果对所有x∈R,恒有f(x)≥0,则b的取值范围是 ; （3）如果a＜0时,方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根,则a,b应满足的关系是 　　　　　　 ; （4）图象与f(x)的图象关于原点对称的函数是 ; （5）f(x)的图象被x轴割得的弦长为1的函数是 ； 3．求函数的最大值和最小值: (1) f(x)= , x∈[0,4]; (2) f(x)=+5, x∈[-1,].4．当｜x｜≤1时, (1)求二次函数y=x2 -2ax+a的最小值;(2)若知最小值为-2, 如何求a; (3)如何求最大值。

5．已知x1 、x2 是方程4x2 -4mx+m+2=0的两个实根, (1) 当x12 +x22 取最小值时,实数m的值是（ ） A． ; B． - ; C． -1 ; D． 2 ;(2) x1 、x2 都大于, 求m的取值范围6. 对于关于x的方程,求满足下列条件的m的取值范围.（1）两个正根； （2）有两个负根；（3）两个根都小于-1； （4）两个根都大于；（5）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （6）一个根大于2，一个根小于2； （7）两个根都在（0 ，2）内；（8）两个根有且仅有一个在（0，2）内； （9）一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内；（10）一个根小于2，一个根大于4．典型例题答案解析【例1】【思路分析】由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．（2）因为二次函数中的二次项系数-1＜0，所以抛物线有最高点，即函数有最大值．因为=，所以当时，函数有最大值．【例2】解：作出函数的图象．当时，，当时，．【说明】二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．【例4】【思路分析】由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，． 综上所述：【例5】【思路分析】本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．【例5】解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝；当x＝0时，函数取最小值y＝0．xyO－2a①xyO－2aa24xyOa－224a2②－2xyOaa24③【说明】在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．【例6】解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．达标训练答案1．（1）D ；（2）A ；（3）D ．2．函数f(x)= x2 -2ax+a2 +b =(x-a)2+b ． （1）当f(x)在区间(-∞,1)上是减函数时,顶点在x=1的右侧，∴a≥1;（2）如果对所有x∈R,恒有f(x)≥0,则顶点在x轴上方，∴b≥0；（3）a＜0时,方程f(x)=0在区间(1,2)上只有一根, 则f(1)<0

①若a<-1,则x=-1时，ymin=1+3a,②若-1≤a≤1,则x=a时，ymin= a-a2,③若a>1,则x=1时，ymin= 1-a;（2）由（1）得：①当②③综上所述，该函数的最小值为时，.（3）函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，又知.①若，则.②若，则.5．(1)∵Δ=16m2-16(m+2)=16(m2-m-2)≥0, ∴m≤-1或m≥2,又∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2=,∴当m=-1时 x12+x22有最小值易漏掉Δ≥0）.(2)(x1-)(x2-)>0且(x1-)+(x2-)>0，即x1 x2-（x1 +x2 ）+>0 且x1+x2 -1>0， >0 且m -1>0, ∴m<3, 且m>1,又∵Δ≥0∴2≤m<3;注意：（1） 不能推出.（2） 形式上是二次的方程的二次项系数是否为零、是否隐含"根为实数"的条件.6．【分析】限制条件简单时宜用韦达定理，如（1）--（5），限制条件复杂时宜借助二次函数图象求解，如（6）--（10）解法一：利用韦达定理(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 解法二：借助二次函数图象设(1) (2) (3) (4) (6) (7) (8) (9) （10）．4 简单的一元二次不等式基础知识我们通过具体例子来研究一元二次不等式的解法。

二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：xO－23y＝x2－x－6yy＞0y＞0y＜0x－3－2－101234y60－4－6－6－406由对应值表及函数图象(如图)可知：当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x－6＝0；当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解集是 x＜－2，或x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜。