完全平方数初中数学竞赛教案.doc

课 题：完 全 平 方 数一、本课知识点和能力目标1．知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题2．能力目标：本讲采用举例的方法，介绍以帮助同学们轻松地进展计算，从而提高运算能力，开展思维的敏捷性与灵活性二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想三、本次授课节次及容安排第1课时：个位数的判定第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反响.四．课外延伸、思维拓展第一课时[知识要点] 个位数知识：1.整数之和〔差〕的个位数等于其个位数之和〔差〕2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积3.正整数的幂的个位数有一定的规律a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化经典例题】答案：3答案：〔1〕0；〔2〕3答案：9答案：1尝试练习：答案：〔1〕3； 〔2〕1； 〔3〕8； 〔4〕2； 〔5〕2； 〔6〕7第二课时[知识要点]如果n是一个整数，则n2就叫完全平方数。

性质：（1） 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9.（2） 平方数被3除的余数只能是0和13） 奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.（4） 平方数的个位数是奇数1，5，9时，十位数字一定是偶数5） 平方数之积是平方数6） 平方数的正约数个数为奇数根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法：（1） 两相邻平方数再没有平方数2） 个位数是2，3，7，8的正整数不是平方数3） 正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数4） 个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数5） 假设存在质数p|a,而 p2a,则a不是平方数经典例题】例1. 试证：形如3n+2的数不是完全平方数证明：整数被3除，余数分别为0，1，2易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1.被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1故任何形如3n+2的数都不是完全平方数例2. 求证：奇数的平方数被8除余1，偶数的平方数一定是4的倍数证明：奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,n、n+1为连续整数，必有一个偶数. 偶数〔2n〕2=4n2,为4的倍数。

故得证例3. 使得〔〕为完全平方数的自然数n的个数是多少.分析：假设n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数例4. 一个自然数减去45后是一个平方数，这个自然数加上44，仍是平方数，试求这个平方数尝试练习：1.判断11、111、1111、…、，…这串数中是否有完全平方数答：没有完全平方数〔由性质4可得〕解：由题意得：所以A=2，B=-1当为奇数时，A+B的n次方根为1当为偶数时，A+B的n次方根为±14.1176a是一个完全平方数，求a的最小值解：a的最小值为6.5.一个四位正数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数有几个.第三课时【典型例题剖析】例1. 四位数是11的倍数，且有b+c=a，是完全平方数，求此四位数例2. 设有四个正整数2，5，13和d,求证：在这四个数中存在两个数a、b，使得〔ab-1〕不是完全平方数例3. 一个四位数是一个平方数，且适合*=y+z，*+z=10t,求这四个数尝试练习】1. 求证：四个连续整数的积加1是一个完全平方数证明：连续自然数n,n+1,n+2,n+3.则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.命题得证。

2. 试证：完全平方数个位数字是奇数时，其十位数上的数字必为偶数第四课时【课堂反响】 得分4. 以下四个数：921438，76186，750235，2660161中，只有_2660161_是完全平方数5. 能被252整除的最小完全平方数是1764.提示：252=22*32*7，6. 在以下括号中填入适当的正整数，从以上填空中，你发现了什么规律.请用等式表示出来2k+1=(k+1)2-(k)27.五个连续自然数的平方和不是平方数8.一个正整数假设加上50得一个完全平方数，假设减去31又得一个完全平方数，求这个正整数简解：类似于第二课时例4.解得：正整数为1631或175或319.试证：a(a+1)+1(a是自然数)不能是*个整数的平方10设n 是整数，如果n2的十位数字是7，则n2的个位数字是多少.四．课外延伸、思维拓展1.假设n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：n+1是3个完全平方数的和2.证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差3.正整数n不同的约数的个数记为N〔n〕，如24的约数是：1，2，3，4，6，8，12，24共8个，记N〔24〕=8。

则N〔1〕+N〔2〕+…+N(1994〕是奇数还是偶数.为什么.简证：根据性质〔6〕，平方数的正约数的个数为奇数个，非平方数的正约数的个数为偶数个而442<1994<452,因此，在1，2，3，…，1994中有44个平方数，1950个非平方数即在N(1),N(2),…,N(1994)中，有44个奇数，1950个偶数全部的和为偶数 z.。