近世代数课件全211图形的对称变换群群的应用.ppt

近世代数近世代数     第二章第二章 群论群论       §11 图形的对称变换群、群的应用图形的对称变换群、群的应用 9/24/2024一、图形的对称变换群一、图形的对称变换群 定义定义1:  使图形不变形地变到与它重合的变使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换换称为这个图形的对称变换. 定义定义2：：图形的一切对称变换关于变换的乘图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的法构成群，称为这个图形的对称变换群对称变换群. 9/24/2024例例 1 正三角形的对称变换群正三角形的对称变换群.     设正三角形的三个顶点分别为设正三角形的三个顶点分别为1、、 2、、 3. 显然，正三角形的每一对称变换都导致正三显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换角形的三个顶点的唯一一个置换.  反之，反之， 由由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用三角形的唯一一个对称变换，从而可用表示正三角形的对称变换群表示正三角形的对称变换群. 9/24/2024其中其中(1)为恒等变换为恒等变换, (1 2), (1 3), (2 3) 分分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换, (1 2 3), (1 3 2)分别表示关于正三角形的中分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转心按逆时针方向旋转120度、度、240度的旋转变度的旋转变换换. 9/24/2024例例 2 正方形的对称变换群正方形的对称变换群.     正方形的四个顶点分别可用正方形的四个顶点分别可用1、、 2、、 3、、 4来表示来表示. 于是正方形的每一对称变换可用一于是正方形的每一对称变换可用一个个4次置换来表示次置换来表示. 显然，显然， 不同的对称变换不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积应了置换的乘积. 这说明，正方形的对称变这说明，正方形的对称变换换群可用一置换群来表示群可用一置换群来表示. 9/24/2024容易看出容易看出, 正方形的对称变换有两类正方形的对称变换有两类:    第一类第一类: 绕中心的分别旋转绕中心的分别旋转90度，度，180度，度，270度，度，360度的旋转，度的旋转，这对应于置换这对应于置换  (1234)，， (13)(24)，， (1432)，，(1).第二类第二类: 关于正方形的关于正方形的4条对称轴条对称轴的反射的反射, (1 2)(3 4)，， (2 4)，， (1 4)(2 3)，， (2 4)，， (1 3).这对应于置换这对应于置换所以所以, 正方形的对称变换群有上述正方形的对称变换群有上述 8个元素个元素. 这是四次对称群的一个子群这是四次对称群的一个子群. 9/24/2024S(K)={S(K)={(1),(1), (1234),(13)(24), (1432), (1234),(13)(24), (1432), (14)(23), (12)(34), (24), (13)(14)(23), (12)(34), (24), (13)} }平面上正方形平面上正方形ABCD的对称变换群的对称变换群 9/24/2024： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024：： 9/24/2024定理定理1 正正n边形的对称变换群阶为边形的对称变换群阶为2n. . 这种群称这种群称为为2n 元二面体群元二面体群. . 记为记为Dn 9/24/2024D6123456 9/24/2024二、置换类型二、置换类型个个2-循环，循环，个个n-循环循环组成，则称组成，则称型置换，型置换，其中其中例：例：中中是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个型置换型置换是一个是一个    一个一个n次置换次置换，如果其循环置换分解式，如果其循环置换分解式是由是由个个1-循环，循环， 9/24/2024二面体群中的置换类型二面体群中的置换类型二面体群二面体群是一个是一个n次置换群次置换群的类型是的类型是型，其中型，其中当当n是奇数时，都是是奇数时，都是型的型的当当n是偶数时，有两种类型：是偶数时，有两种类型：型和型和型型 9/24/2024三、项链问题三、项链问题问题的提法：问题的提法：用用n种颜色的珠子做成有种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？问可做成多少种不同类型的项链？ 这里所说的不同类型的项链，指两个这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。

项链无论怎样旋转与翻转都不能重合 9/24/2024数学上的确切描述数学上的确切描述    设由设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子12354678    沿逆时针方向给珠子标号，沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有由于每一颗珠子的颜色有n种选种选择，因而用乘法原理，这些有标择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有号的项链共有nm种但其中有一些可以通过旋转一个角但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转度或翻转180度使它们完全重合，度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数使它们重合的项链类型数 9/24/2024 设设X={1，，2，，…m}, 代表代表m颗珠子的集合，颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链. . 为为n种种颜颜色的集合色的集合. 则则每一个映射每一个映射代表一个有标号代表一个有标号的项链的项链.，它是全部有，它是全部有令令标标号号项链项链的集合，的集合，显显然有然有，是全部有，是全部有标标号号项链项链的数目的数目. 9/24/2024设设，其中，其中现在考虑二面体群现在考虑二面体群对集合对集合的作用：的作用： 9/24/2024定定义义则则，所以，所以. .对对的作用为的作用为 9/24/2024其直其直观观意意义义是，是， 对对的作用就是的作用就是使使对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而与与是同一类型的是同一类型的属于同一轨道属于同一轨道.与与因此，每一因此，每一类类型的型的项链对应项链对应一个一个轨轨道，道，不同不同类型项链数目就是类型项链数目就是对对，可用，可用Burnside引理求解引理求解.作用下的作用下的轨道数目轨道数目 9/24/2024下一个关下一个关键问题键问题是是：：如何求如何求在在上的不上的不动动点数点数的循的循环环置置换换分解式可表分解式可表为为 对应对应式（式（1 1）中同一）中同一循环置换循环置换（（1））中的珠子中的珠子有相同的有相同的颜颜色色. .，，这这与与的置的置换类换类型有关型有关.是一个是一个型置型置换换. 设设 9/24/2024例如，例如，设设，，则则 故故是是的一个不的一个不动动点点. 9/24/2024反之，若反之，若对应对应，，则则 故故不是不是的不的不动动点点. .的循环置换分解式中某个的循环置换分解式中某个循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如 9/24/2024下面我下面我们们来来进进一步一步计计算不算不动动点数点数而而满满足足的的，，对应对应于于的同一循的同一循环环置置换换中的珠子的中的珠子的颜颜色必色必须须相同，相同，因而，每一个循因而，每一个循环环置置换换中的珠子中的珠子颜颜色共有色共有n种种选择选择. . 而而所含的循所含的循环环置置换换个数个数为为所以所以满满足条件足条件的的项链颜项链颜色有色有种种选择选择 9/24/2024故故将它代入将它代入Burnside公式，就得公式，就得项链项链的种的种类类数数为为其中和式是其中和式是对对进进一步表示一步表示为为其中其中和式是和式是对对所有可能的不同置所有可能的不同置换类换类型求和型求和.中每一个置换求和中每一个置换求和.为为同一同一类类型的群元素个数，型的群元素个数， 9/24/2024例例用用3种颜色做成有种颜色做成有6颗珠子的项链，可做多少种？颗珠子的项链，可做多少种？解解123456 9/24/2024按按类类型型计计算每一个群元素的不算每一个群元素的不动动点数点数：：型置换有型置换有1个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有3个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有4个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为型置换有型置换有2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为所以所以. 9/24/2024作业：作业：      用黑白两种颜色的用黑白两种颜色的珠子，串成有珠子，串成有5个珠子个珠子的项链。

问有多少种不的项链问有多少种不同类型的项链？同类型的项链？12345(1) 15 25(12345) 51 2(13524) 51(14253) 51(15432) 51(25) (34) 11 22 23(13) (45) 11 22(15) (24) 11 22(14) (23) 11 22 (12) (35) 11 22 9/24/2024。