第二章微分学 导数的概念.pdf

第 二 章 微 分 学 1导数的概念一、问题的提出：1.瞬时速度设质点沿直线运动，其位置函数为S=S（则在访到，时间间隔内的平均速度为声=出二曲，在质点在访的瞬时速度 为 当 历时的极限-0V（/o）=i n/二S&）t-%2.曲线的切线曲线的切线定义为割线的极限位置设曲线的方程为y/x）,曲线在（刖,yo）的 割 线 斜 率 为t a n =幺止3,切 线 的 斜 率 为t a nx-xQ止二 支）X T/X-XQ二、导数定义：1.定义：设八%）在 内 有 定 义，且沏+A r G U（%o M，若l i m /（+4）-/（x存在,则称/（%）在刖点可导，且称极限值为小Ax/（%）在网点的导数，记为生或V，即虫=l i m 入dx dx AxX一导数也可记为尸（沏）或日2.若八月在开区间3力）内的每一点处都可导，则称函数大幻在33内可导,这时也称/(x)是(a,b)内的可导函数，这时对V x c(a,b),/(x)总有唯一确定的数与之对应，这样在(力)内定义了一个新的函数，称为八%)的导函数,记为尸(犬)或鱼，即对V x e (力)，尸(%)=l i m ,0 +&)-./(dx及 fO Ax显然有/(X)=/(%O)|E0注意：导数定义实质上是函数增量与自变量的增量之比的极限，于是定义可改写为：尸(的)=l i m x)r(x。

)X f X-XQ特别是/(O)=l i m 这 二 幽1 0 x3.单侧导数：左导数:/_(x)=l i m /(h&)一/(X),右导数:r+(无 尸 1油 x +4)-/(x)&TO-Ax 3 0+AX定理：尸(沏)存在O(X0)=r+(刖)按定义求导数步骤：1)求增量，2)算比值，3)取极限4.求导举例：1)(C)=O,2)(Z)=/i,3)(ayana,4 )(ex)=ex,5)(s i n x)=cos x,6)(c o s x)=-s i n x例：讨论段)=同在点x=0的可导性77“、-x x 0/_(0)=l i m =hm =-1xf(T x X10-X/+(U)=lim-=lim =1x-0+X v-0+x(0)工(+(0),故/(x)=|%|在点x=0处不可导例：设/)=/%0三、可导与连续的关系设y=/(x)在点沏处可导，兀x)在刖点是否连续？由可导性知：l i m也上也 二 皿=(沏)-又由极限性质知：A y=/X x o)A x+a-A x故有l i m今=0 ,即/在沏点连续4 1 fo反之不一定成立，即连续不一定可导或者：连续是可导的必要条件，但不充分。

定理 设丁=/a)在点光o处可导，则“x)在刖点一定连续，反之不然若函数不连续，则一定不可导2求导法则一、函数的线性组合、积伤的、求导法则设“(x),u(x)可导，则”(x)土u(x)，u(x)-v(x),由立(u(x)M)都可导，且有:v(x)1)u(x)v(x)/=u(x)+v(x)2)M(X)v(x)-u(x)v(x)+u(x)-v(x)3)(X)ux)vx)-ux)vx)v(x)V2(x)1),2)可推广到有限个函数运算形式.2)中当 y(x)=c 时，有C“a)=C q),当 v(x)=Q)时,u(x)=2u(x)u(x)3)中 当 Q)=C时，了=空2v(x)V (x)求导举例：求下列函数的导数:1.y=2x2-3sin x+ln 3,2.y=Vx-cosx 3.y=esin x,4.y-,v _ e5.y=i=二、反函数导数：若尤=y)在 区 间/y内单调可导，旦夕0,则 其 反 函 数y=/(%)在对应区间/y内单调可导，且f(X)=(p(y)基本函数的导数：y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx 的导数三、复合函数导数:设“=!)$在 点%o处可导，=/()在uo=d xo)可导，则y=/贝 明 在 点xo处可导，且半axA=.V(八)或 先?ax du ax求导举例：求下列函数的导数:1.j=ln cos(1+x2)-sin2-2.y=e x 1 Vx3-k前1 +In x5.y =l n x 4-V l +x2n s i n x6.y=x指数求导法：设(x),咐)可导,(M(X)0),则 y=(x)=e、C r),yf=e V(x)l n i/(A)vf(x)l n w(x)+v(x)-=u(x)v(x)”(%)l n M(X)+V(X)-,u(x)w(x)例：丁=(1 +九2尸，求V。

复合函数补充例题：1.设 y=f(siYx)+f(cos2x),求 yno2 .设 y =/(/)/),求 V3.设 y =a*+b(ad-bc),求严)“cx+dc=0,yf=9 严=0c八 a he-ad 1c,Wy =+-5-Tc c x+-c、.、-/“(x+i)、T4.设正值函数/(%)在点次处可导，求l i m/(x)四、高阶导数：设 的 导 数 仍 然 可 导，则/Q)的导数 (无)称为/的二阶导数，记为广(%)，即1 (%)=(%)或 誓,学 或W 相应地把尸(%)ax ax称为/(X)的一阶导数同理可定义三阶、四阶导数，一般地把/(%)的-1阶导数的导数称为大X)的阶导数，记 为/)(%),严 或 答,宾ax ax例：1.验证 =厅3满足史厂+1=02,求 y=f,y=ex,y=s i n x,y=l n (1+%)的阶导数.3.求丫=%,y =-的阶导数X2+3X+23隐函数的导数，参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数形如：)，=f,丁=炉称为显函数特点：自变量工在某区间取定一个值，由算式能确定定义函数值另一类函数是由二元方程/(%,丁)=0确定，例：x+y3-l=0,当e(-oo,+co)总能确定唯一的一个y使之满足方程。

这类函数称之为由方程F(x,y)=0确定的隐函数若能把y解出(如上例卜=灯)称为隐函数显化；但有些隐函数显化有困难，甚至不可能：+2盯2+=2,肛=*+在隐函数不显化给出求导的方法例1 .设方程4 /+/=0$确定了尸y Q),求多.解：方程两边对下求导，注意y是x的函数I xy+xiy-ex+eyy=0,解出 y ,y=,一 .x+ey例2.设曲线C的方程为丁+/=3q，求过曲线C上点(|,|)的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点解：方程两边对 求导，得3 f+3 y 2 y=3 y+3%y,切点坐标代入得3 y =-3,y=-l,故法线方程斜率为14 4切线：y-1 =-(-V-1)法线：J即产(通过原点).2 2隐函数也要求高阶导数例3 .设方程 =1 +%/确定了 y=y(x),求筌.解：y=ey+xeyy,y=e,l-xeyo y，、，2yf,=eyy+eyyr-xeyyf 2xeyy,r,解 出 yn：y=x)l-xey把y代入得了=一(2一斤).(1-xe)例4.证明：y=l n (肛)确定的隐函数 尸y(%)满足方程：x&-l)y +x/2+yy-2y=0.证明：方程两边对尤求导，得：y=-+/xyyy-k-xy,x y再对 x 求导：yy+xy+xyy=y f+y +xy,即 无1 )y +x y 2+yy-2y=0.利用隐函数求导可得另一种求导法：对数求导法。

这种方法适合于求多个函数乘积、商、乘方、开方构成的函数的导数例：设=嗯 羔 m，求工(x +4)e解：In y=2ln(x+l)+1ln(x-1)-3ln(x+4)-x1 ,2 1 1 3y=-+-1y x +1 3 x-x+4r2 1 1 3 n_(x +l)2V x Tr 2 1 1 3 I 1)V x +1 +3 x-1 x+4(x +4)Vx x +l +3 x-1 x +4对鬲指函数也可用对数求导法二、参数方程确定的函数的导数平面曲线可用参数方程表示，比如圆方程f，若消去/得f+/=月y =rs i n r一般由参数方程f=确定与y之间的函数关系，称这种函数为由参数方程确定的函数为了求导，可以消去/把函数显化后再求导，但这种方法不足可行设=的）具有单调、连 续 的 反 函 数 仁/且 与 产 认可复合，于是参数方程所确定的函数看成是复合函数产0匕）,由复合函数可导条件（西）,/可 导)得：与*ax at ax c p (t)例1.设f=求在u 工的导数电.y=hsint 4 dx解：虫=心=三”=_纥0廿，虫一.dx(p(t)-a s i n，a dx/=a4参数方程也要求高阶导数：导函数y(x)是由与 的 反 函 数1=0-1(工)复合而成，于是例2,b Tn(l+)，求 学。

y =Z-a rc t a n f dxi _ _ L _解：=_ L ttL =L,4 =(I y 1 =1 .dx 2 l 2 dx2 2 2t 4t1 +产 1 +产例3.求曲线卜=2,在u o点的切线和法线方程y=e解：k=y，=-；,法线斜率为2,切点(2,1).1=0于是切线方程：y l =g(x 2),法线方程：y-l=2(x-2).三、相关变化率设在某过程中由若干个变量(比如1,y),它们之间存在着某种关系，而这些变量又都是另一变量(比如力的函数，且已知函数可导，又已知一些函数的变化率，求一个变量的变化率就叫做相关变化率例：设溶液自深1 8 c m，顶直径1 2 c m的圆锥形漏斗中漏入一直径为1 0 c m的圆柱形桶中，开始是漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为1 2 c m时，其液面下降的速率为I c m/m i n,问此时圆柱形桶中液面上升的速率为多少？解：根据题意雪邙+万5 2 =V,h=h(t),分别为/时刻容器液面的高度，对t求导：-h2h,+257rH =0 ,将=1 2,=-1 代入得H =0.6 4 c m/m i n.5 函数的微分与函数的线性逼近一、微分的定义1.弓 I 例：一片正方形金属簿片受温度变化的影响其边长从与变化至 b0 +A r.问此簿片的面积改变了多少？A s =(x0+A x)2-%；=2 x0A x+A x22 .定义：设函数y =/(x)在 U(%o，r)内有定义，且与 +A rc U(4,r)如果函数的增量A y =/(x0+AY)-/(X0)可表示为A y =A-+o(A r),则称函数y =/(x)在点x0 是可微的，A A r称为函数旷=/(x)在点/相应于自变量的增量A r的微分(d i f f e re n t i a l),记为d y ,即d y =A A r.3 .可微的条件：定理：函数/*)在点与可微的充要条件是函数尤)在点与可导，并且当函数%)在点/可微时,有4=ra 0).二、微分公式与运算法则1.基本公式2.运算法则3.复合函数的微分法则三、微分的意义与应用6微分中值定理1.引理：（Fe rma t）设y=/（x）在。

沏内有定义，且满足：1）对V x c U（XQ,S）,有危）3）+1,验 证/）在1,3 上满足罗尔定理的条件,且有定理的结论注意：定理条件不满足时一，定理的结论不一定成立x 0 x 1例如：1./（、）=%.0 x=12./(%)=用一 1,-2 x 23.於)=%2,0 x a,证明存在唯一的一点史(a,b),使人3.拉格朗日中值定理：设式幻满足：1)在闭区间口,切上连续2)在开区间(a,b)内可导则在(“/)内至少存在一点自，使式b)-fa)=f(b-a)(免(a,b)若记=a,x+x=b,则拉格朗日中值定理的结论可写为：f(x+Ax)-f(x)=f r()A x 耳 立 于 x 与 x+A r 之间若记兵工+必庆(0 0 时，一ln(l+x)0,使1A 修)成嘲义伞I-M|.例:证明对x w L l a rc t a nx-l n(l+x2)-In 2.2 46泰勒公式微分近似公式：/(%卜/(X o)t A(刖)(-九0)几何上，这个近似公式是用曲线在刖点的切线来代替曲线，误差是当Xf x()比X-X o高阶无穷小。