第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析.doc

家长OK网： 第一届鹏程杯数学邀请赛小学六年级试题及答案解析 （考试时间100分钟，满分120分） 一、填空题（满分60分，每小题6分）1.计算：4780×99－(476.4×284＋4764×71.6)÷（1+）=（ ）考查内容：速算与巧算.答：1584解析：原式＝4780×99－4764×（28.4＋71.6）×0.99 ＝4780×99－4764×99 ＝16×99 ＝1600－16 ＝15842. 字母 A，B，C，D 代表不同的数码，恰使得成立，则=_________ 考查内容：数字谜和四则运算.答：解析：由逐次估算可知，只有1111+888+22-7=2014.则A=1，B=8，C=2，D=7.所以3. 如图，10个圆的半径相等，已知阴影部分的面积是48平方厘米，这10个圆的面积之和是多少平方厘米？(π取3.14)= = 考查内容：图形的面积计算.答：94.2解析：四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为2r的正方形面积减去四个圆的面积，也就是减去一个圆的面积，即是 ......(5分)阴影部分的面积可表示为： 即是 ......(8分)那么（平方厘米） ......（2分）4. 桌上的盘子里放着60 块饼干，5 个孩子用它来招待客人。

每个孩子从盘子里给每个自己认识的客人拿了1 块饼干，然后，客人也从盘子里给每个不认识的孩子拿了1 块饼干，此时，盘子里的饼干刚好被拿空在场一共有________个客人考查内容：简单应用题答：12解析：每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等60÷5=12（人）5. 将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成个小正方体积木. 已知至少有2 个面为红面的小积木共有44 块，则6 个面都没染红的小正方体积木共有_______块. 考查内容：空间观念，简易方程. 答：27解：不妨设大正方体棱长为，则共个单位正方体小积木.小单位正方体两个面为红色的有12(n-2)个，3 个面为红色的有 8 个.因此至少有 2 个面为红面的小积木块共有12(n-2) +8 个，列得方程12(n-2)+8 = 44,解得n = 5.所以 6 个面都没染红色的单位正方体积木共有块6.电子钟指示时刻由00.00.00到23.59.59. 每个时刻显示1秒钟. 如图2显示的时刻有两个数字0.那么，在一昼夜期间钟表上显示3个数字7 的时刻共有秒.考查内容：简单组合计数.答：72秒.解：如果在表盘上显示的数字为因为那么。

所以出现的3个7只能是此时或 .全部得到2.6.6=72个出现3个7的时刻，而每个时刻显示1秒钟，总计72秒7. 在下面的钉子板上，用橡皮筋最多可以围出（）个正方形考查内容：分类讨论、计数.答：20 9个 4个 1个 4个 2个8. 已知a 与b 是互质的自然数，且b 小于50, 则满足的有序对的个数是_____. (,) ab考查内容：分类讨论、计数.答: 18解: 由a, b是互质的自然数，和，得注意到b小于50.当a=1时, 没有没有符合条件的 b；当a=2时，b=13；当a=3时，b=19，20；当a=4时，b=25,27；当a=5时，b=31,32,33,34；当a=6市，b=37,41；当a=7时，b=43,44,45,46,47,48；当a=8时，b=49.所以有18个9. 一个 6 位的自然数是7的倍数，则的最大值等于_________.考查内容：整数整除和最值. 答: 27解: 则被7整除因为B、C是阿拉伯数码，所以B=C=9时，2B+C可取得最大值27，此时6B+2C=72，除以7余2，故取A=2,则可以被7整除，所以B=C=9是可以成立的。

10. 已知3 个不同的非零自然数, 它们两两互质, 且其中任二数之和都能被第三个数整除, 则__________.考查内容：整数整除和计算求值.答: 解: 由于a, b, c对称, 可设.即a＜b＜c，则a+b＜2c. 即，既然a,b,c中任二数之和都能被第三个数整除, 则有，也就是a+b=c因为b|a+c,所以b|（2a+b），但（a，b）=1，所以b|2.此时，b=1或b=2.但b=1时，有a＜b=1，则a=0不合题意，所以b=2，此时有a=1，b=2，c=a+b=3为所求的三个自然数，所以二、解答题（满分60分，其中第11-13题各10分,第14、15题各15分）11.一张长方形纸片，长为200厘米，将它按如图所示的方式折一下，剪下一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形纸片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，如此操作下去若在第3次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形纸片的宽解:如下图所示，分四种情况考虑：（1）剪4个一样大的正方形，原长方形纸片宽：200÷4＝50（厘米）……3分（2）剪2个较大的和2个较小的，原长方形纸片宽：200÷5×2＝80（厘米）。

……4分（3）剪1个较大的和3个较小的，原长方形纸片宽：200÷4×3＝150（厘米）……4分（4）剪1个较大的和3个较小的，原长方形纸片宽：200÷5×3＝120（厘米）……4分12. 小明家离外婆家有2500米的路程，其中平路占，到外婆家上山路是下山路的，小明从家出发，用了50分钟到达外婆家已知小明上山路的速度比平路慢20%，下山路的速度比平路快20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里要走多少分钟？解:小明到外婆家，上山路是全程的，下山路是全程的 ......2分平路、上山路与下山路的路程比是. ......1分平路、上山路与下山路的速度比是1:(1-20%):(1+20%)=5:4：6 ......1分那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是 ......2分在平路上所用的时间是（分），在平路的速度是（米/分），上山路的速度是50×（1-20%）=40（米/分），下山路的速度是50×（1+20%）=40（米/分）。

......4分返回家里的用时为： ......5分答，小明从外婆家返回家里要走分钟13、 如图四边形ABCD为任意四边形，且它的面积为，E、F将AB三等分，G、H将CD三等分，连接FG和EH，则原四边形被分成三个小的四边形，试求中间的小四边形EFGH的面积解：连接DB、DF、HF.因为， 所以，，即 ......5分因为，，所以，，即 ，因此， ......10分14.为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用5天时间共做了31道练习题. 每天做题的数量都比前一天有所增加.如果他第一天做题量是第五天的三分之一，问他第四天作了几道题？简述你的理由.考查内容：题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述.答：8道题.解：如果小明在第一天作了不多于两道题, 即这意味着在第五天他做了不多于六道题. 并且5天做题总数不多于5.6=30道，小于总题数31道. 不符× ……（4分)如果在第一天他做了不少于4 道题，那么在第二天做了不少于5 道题，在第三天做了不少于6 道题， 第四天不少于7 道题，而在第五天不少于12 道题. 这样他五天做题总数不少于4+5+6+7+12=34 道题.大于总题数31 道题. 不符.由此得出，在第一天小明只能做3 道题. 在第五天他作了9 道题.我们假设，在第四天他做了不多于7 道题，则在第三天他做了不多于6 道题，在第二天他做了不多于5 道题.五天共做不多于3+5+6+7+9=30 道题.不合题意.这样一来，在第四天他只能做8 道题.例如：从第一天到第五天分别做3，5，6，8，9 道题，或分别做3，4，7，8，9 道题——满足题设条件.评分说明：猜到第四天做8 道题，可给1 分；同时列举了从第一天到第五天分别做3，5，6，8，9 道题，或分别做3，4，7，8，9 道题的3 分；猜到第四天做8 道题，并说明了理由的5 分；进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道题”的另得5 分；进一步说明“第一天不能做四道题或多于四道题”的也另得5分15. 如果存在连续的n 个非零自然数，每个数的质因数分解式（相同的质因数都写成乘方的形式）中，所有质数的乘方次数都是奇数，这样的n 个连续自然数称作一组“ n朵梅花数”.如，，就是一组“3朵梅花数”.（1）请你写出一组“4 朵梅花数”.（2）试确定n的最大值.并说明理由.考察内容：对新概念的理解，会举符合定义的实例，考察离散极值的求法.解：（1）如，，，，就是一组“4 朵梅花数”. ……（5 分）（2）我们先证明n≥8时不存在“8朵梅花数”.因为n≥8时，其中连续的 8 个非零自然数必有一个是 8 的倍数，设这个数是m,则m+4,m-4至少有一个属于这n个连续的自然数.不妨设m+4属于这n个连续的自然数，则m+4被4整除但不被8整除，即m+4得质因数分解式中2的乘方指数为 2（偶数），不符合“梅花数”定义的要求.所以n≥8时不存在“n朵梅花数”.因此n≤7 ……（10 分）我们举例n=7是可以达到的.如，，，，，，，就是一组“7 朵梅花数”. ……（15 分）矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度。