超越函数积分的五种解法.doc

第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品1超越函数积分的五种解法On the five solutions to integral transcendental function袁玉军，陈婷婷，韩仁江指导老师：李声锋蚌埠学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法.关键词：超越函数；积分；大学数学Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral1.引言牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函数的原函数不能用初等函数表示，如 ， ， 等函数. 在阻尼振动、热传导与正xsinl12xe态分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.2.五种解法(1)基于幂级数展开法求积分引理 1[1] 若函数项级数 在区间 上一致收敛，且每一项都连续，则nux,ab.bnaaduxd例 1 求定积分 10l.x分析 注意到 在 内连续，且n,01llim,i.1xx第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品2若定义函数 ,0,ln11,,xfx显然， 在点 为可去间断点，故 在 上可积. 因此这是一道普通的()fx0,fx0定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.解 因为 1ln,1,nxx所以.11001lnnxdxd 110nnxd又因为级数 11nnx在区间 上一致收敛，且通项 连续，所以得到0,1■1211001ln .6nnnxxdd（2）基于柯西积分公式求积分引理 2（柯西积分公式） [2] 设区域 的边界是周线（或复周线） ，函数 在 内DCfzD解析，在 上连续，则有DC2,.cffzidz例 2 求定积分 cos0in.e分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.解 考察复变积分 ，其中 ，利用柯西积分公式得,|1zCedzef第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品3. (1)02Iiei令 ，代入 得cosinzzcosin20csinzCeedd2cosi0si siecoin2s0sinedid(2)coscoin,ee又因为 在 上为偶函数, 所以由 可得cosine(1)和 2.■cos0ied注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.(3)基于留数理论求积分引理 3（柯西留数定理） [2] 若 在周线或复周线 所围的区域 内除fzCD外解析，在闭域 上除 外连续，则12,.,nDC12,.n1Re.kzfzdisf引理 4（若当尔引理） [2] 设函数 沿半圆周 充分大 上g:e(0,iCR)连续，且 在 上一致成立，则lim0RgzRCli0.Rimzed引理 5[2] 设 沿圆弧 上连续，且在 上fz12: ,irSar充 分 小 rS一致成立极限第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品4，0limrzaf则有极限 210li .rSfdi例 3 计算积分 +0sn.xd解 因为积分 存在，且i=+0six1sin..2xPVd考虑函数 沿图 1 所示闭曲线路径 的积分izefC图 1 闭曲线路径 C根据柯西积分定理得 0,cfzd或改写成(3)0,R rixizixizRrrCRCeedd其中 分别表示半圆周 .,RrC0,iizzR及由引理 4 知 lim.RizCe由引理 5 知.0lirizCed在式(3)中，令 ，得 的主值为0,rRix..ixePVd第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品5所以= = .■+sinxd1sin.2xPVd2(4)基于拉普拉斯变换法求积分从例 3 的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解上题，相对比较简单.引理 6[3] 由积分 所定义的确定于复平面 上的复变数0stFefd Res的函数 ，称为函数 的拉普拉斯变换，其中 于 有定义，且满足不等ssft ft0式，这里 为某两个正数，称 为原函数，而 称为像函数.tftMe, ftFs解 令 ，0sinkxfkd对 进行拉普拉斯变换，有f，0sintkxLfkedt交换积分顺序得，001sitfkxt则 为 的拉普拉斯变换.0sintekxdtsikx由欧拉公式得， sin2ikxie，1ikxLsi，ie其中把 看为变量 .k从而.21sinxsixiLks第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品6所以= ，001sintLfkekxdt20dxss即 的像函数为 ，0sinxfkd2所以= .■0sinkxfkd2(5)含参变量积分法引理 7[1] 设 在 连续，若 在 上一,fxy,,abc0,Ixfyd,ab致收敛，则 在 上可积，且I., ,b baccadxfydyfx引理 8[1] 设 与 在区域 上连续，若xx,,bc在 上收敛， 在 上一致收敛，则 在,cIxfyd,b,xcfyd, Ix上可微，且,ab,.xcfydI通常，含参变量积分法主要有两种方法.方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理 7 的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.例 4 计算 0sini,0,.pxbaxedpbaI解 因为，siicosbayx所以0inipxedIcosbxay0,pde由于 及反常积分 收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M 判别式)，cospxpxey0pxd第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品7含参变量反常积分 在 上一致收敛，由于 在0cospxeyd,abcospxey上连续，根据引理 7，于是0,,ab20cosb bpxa apIdyeyddy■.rtnrt方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理 8，先微分，后积分，求出超越函数的积分.例 5 [6] Define22cos()(1)in()(2),xxftetdandgttfor .Both integrals exist (they converge absolutely) since the tabsolutely values of the integrands are at most and , respectively2xe2xeNote that is obtained from by differentiating the integrand with gfrespect to . We claim that is differentiabale and that tf(3)'()()fttTo prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if ,then0(4)cos()cs1insintdSince ,the right side of (4) is at most in absolute value int 2;the case Is handled similarly. Thus0(5)cos()csinfor all (if the left side is interpreted to be 0 when )Now fix t,and fix .Apply(5)with it follows from(1)and 0h,;xth第三届“挑战杯”首都大学生课外学术科技作品竞赛参赛作品8(2)that 2()().xfthftghedWhen ,we thus obtain (3).0hLet us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that(6)2sin()()xtftedThus and (3) implies now that f satisfies the differential equation()2,tfg(7)'()0ftfIf we solve this diffrential equation and use the fact that ,we find 0fthat (8)24().tfteThe integral (1) is thus explicitly determined.■3.小结本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法——幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法 【4】 、最陡下降法等 【5】 ，还需广大读者共同讨论。

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