专题03+导数及其应用.docx

专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.【参考答案】B1．平均变化率函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝，∴hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为A． B．C．或 D．或【错解】设，由定义得f ′(2)=12，∴所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．【试题解析】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为.②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为.∵A在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或x0=2(舍去)，∴，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.【参考答案】D1．导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2．曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．2．已知函数，则A． B．1 C． D．【答案】B【解析】，又因为，所以，解得，故选B.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【试题解析】（1）；（2）.【参考答案】（1）；（2）.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．已知，则A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意有，故，所以选D.【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.易错点4 区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，，，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵，∴.（2）∵，∴.解法二：（1）．（2）.【参考答案】（1）；（2）.1．求复合函数的导数的关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4．曲线在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】，所以斜率为，切线方程为易错点5 审题不细致误设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．【错解】（1）∵，∴，∴.∴，令，得或，令，得，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）∵在定义域上为增函数，∴恒成立，∵，∴恒成立，∴，∴，即实数a的取值范围是.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数的定义域为(0，+∞)．∵，∴，∴.∴，令，得或，令，得，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若在定义域上是增函数，则对x>0恒成立，∵，∴需x>0时恒成立，即对x>0恒成立．∵，当且仅当x=1时取等号，∴，即实数a的取值范围是.【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.用导数求函数的单调区间的“三个方法”：1．当不等式(或)可解时，①确定函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2．当方程可解时，①确定函数的定义域；②求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．3．当不等式(或)及方程均不可解时，①确定函数的定义域；②求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；③得单调区间．5．已知函数，其中.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求与满足的关系；（2）当时，讨论的单调性；（3）当时，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①当时，在上单调递增；②当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，函数在和上单调递增；在上单调递减；（3）.【解析】（1）由题意，得. 由函数在点处的切线与平行，得. 即. （2）当时，，由知. ① 当时，，在恒成立，∴函数在上单调递增. ②当时，由，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减.③当时，，解得或；由，解得.函数在和上单调递增；在上单调递减. （3）当时，，由，得对任意的恒成立.，，在恒成立. 设，则，令，则，由，解得. 由，解得；由，解得.导函数在区间上单调递增；在区间上单调递减， ，在上单调递减，，. 故所求实数的取值范围.本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.易错点6 极值的概念理解不透彻已知在处有极值，则________.【错解】或由题得，，由已知得解得或，所以等于或.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况．【试题解析】由题得，，由已知得解得或，所以等于或.当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.综上可知，，所以.【参考答案】对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．2．求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．若是函数的极值点，则的值为A．−2 B．3 C．−2或3 D．−3或2【答案】B【解析】，由题意可知，或，当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B.【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，，才可确定在处取得极值．（3）在本题中，不要遗漏掉这种特殊情况.一、导数的概念及计算1．导数的定义：.2．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.求曲线的切线方程的类型及方法（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程。