1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.pdf

1992年普通高等学校招生全国统一考试理科数学满分 120 分.考试时间 120 分钟选择题：本大题共 18 小题；每小题 3 分，共 54 分.在每小题给的 4 个选项中，只有项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内一选择题：本题共 18 个小题；每小题 3 分，共 54 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内1)-Og9的值是log23(A) i(B) 1(D) 2(2)如果函数y =sinC，x)cos( .x)的最小正周期是4二，那么常数为(A)4(B) 2(c)2(D) 4(3)极坐标方程是卜二cos拯口卜-si nr的两个圆的圆心距是(A)2(B)2(C) 1方程sin 4xcos5x二-cos4xsin5x的一个解是(A100(B)200(C)500(D 70(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(A6:5(B) 5:4(C) 4:3(D) 3:2图中曲线是幕函数y =xn在第一象限的图象已知n 取一2丿四个值,则相应于曲线 C1、 C2、a、C4的 n 值依次为()1 1(A) 2,2(B)2c 1 1 n2 2211，2，2，(C(D)- 一，c 1 c 1若log2-2,2,2a2：也2：0，则(A0 a : b : 1)(B)0 : b : a : 1a b 1(D)b a 1(0(8)直线x=tsin20 +3,(t为参数)的倾斜角是i y = T cos20 :(A 200(B) 700(C) 1100(D) 1600(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(A)4 个(D) 1 个(C) 3 个(B) 2 个(10)圆心在抛物线y2=2x上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是12 222一 x 2y =0(A)xy(Bx y x -2y 1=04)22y _x _2y=022(C)x y -x -2y 1 = 0(D)x425(11的系数为)在(x 3x 2)的展开式中 x(B) 240(D) 800(A) 160(0360(12 )若0 a : 1,在0,2二上满足sin x_a的 x 的范围是(A 0, arcsina(0 二-arcs in a,二(13)已知直线I,和l2夹角的平分线为那么I2的方程是(A)bx ay c = 0(C)bx ay - c = 0)(B)arcsin a,蔥arcsin a(D)arcsin a,2arcsinay=x，如果I,的方程是ax by 0(ab - 0)，(B)ax - by c = 0(14)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1CD 中，M 和 N 分别为 AB 和那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是/、3310(B)(C)(A)-5210(15)已知复数 z 的模为 2,则 |z - i|的最大值为(A) 1(B)(C)52xxe e函数y =(16)的反函数BB 的中点,(D)25D】()(D) 3(A) 是奇函数，它在(0, ：)上是减函数)函数(B是偶函数，它在(0, ：)上是减(0是奇函数，它在(0,(D是偶函数，它在(0,上是增函数上是增函数(17)如果函数f(x)=x2bx c对任意实数 t 都有f (2 t)二f(2 -1)，那么(A)f (2)： f(1)： f(4)(B)f(1)： f(2)： f(4)(C)f (2)： f (4)： f(1)(D)f(4)： f(2)： f (1)(18)长方体的全面积为 11,十二条棱长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为(A)2 3二填空题：本大题共(B). 14(C) 5(D) 6()5 小题;每小题 3 分，共 15 分。

把答案填在题中横线上1+3(19) 方程= 3 的解是_1 +3x(20)sin 15 %in 75 的值是 _(21)设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集数为 T,则T的S值为_(22)焦点为 F1(-2 , 0)和 F2(6, 0),离心率为 2 的双曲线的方程是 _(23)已知等差数列比 的值是an的公差d = 0,且a1,a3,a9成等比数列，则 卫一%三解答题：本大题共a? + a5 小题;共 51 分.解答应写出文字说明、演算步骤24)(本小题满分 9 分)已知z C，解方程zZ -3iZ =1 - 3i.(25)(本小题满分 10 分)已知2,cos - 9= 12 , sin(二亠P) - -3求sin 2工的值4135(26) (本小题满分 10 分)已知：两条异面直线a,b所成的角为日，它们的公垂线段 AA 的长度为 d.在直线a,b上分别取点 E、F,设 AiE=mAF=n.求证：EF=Jd2+ m2+ n22mnCOST.(27) (本小题满分 10 分)设等差数列an的前 n 项和为 S.已知a3 =12,S120,S13 : 0.(I)求公差 d 的取值范围；(n)指出 S,S2, S12中哪一个最大，并说明理由。

28) (本小题满分 12 分)2 2已知椭圆x2y21 (a b 0), A、B 是椭圆上的两点,a b轴相交于点 P ( Xa2 -b2a2-b0,0 ).证明:2:x :线段 AB 的垂直平分线与 x参考答案及评分标准说明：一.和能力，本解答指出了每题所要考查的主要知识并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分 细则二每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分三.为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，理省略非关键性的推导步骤 四解答右端所注分数，表示考生正确做到这步应得的累加分数五.只给整数分数、选择题.本题考查基本知识和基本运算海小题 3 分，满分 54 分允许考生在解题过程中合但不得超过后面部分应给分数的一半；如果A(10)D(2)D(11)B(3)D(12)B(4)BD(13)A(14)D二、填空题本题考查基本知识和基本运算B(15)DB(16)C(8)C(17)A(9)A(18)C每小题 3 分: ,满分 15 分1(19) x= -1(20) 一 (21)15128(22)(x-2)244_ y_=1122(23)1316三、解答题(24)解：设z = x yi(x, y R)将x yi代入原方程，得(x yi)(x -yi) -3i(x -yi) =1 3i, 整理得 x2 y2 -3y -3xi =1 3i根据复数相等的定义，得；-3x=3,“ 2 2(2)X和-3y=1由(1)得 x=-1.将 x=-1 代入(2)式解得 y=0,y=3zi = _1, z2 - -1 3i（25）解：由题设知-为第一象限角,.sin(二.-)一汕 ；（2）S詈由题设知二亠卩为第三象限角，”sin (a + 0) = Ji _COS2(a + B) = ”1一 (一2=-害.sin 2： = sin(：-)(黒亠卩)二sin(： - -)cos(、；、)cosC - )sin(、；T-)5= - X13(-4)12 (-3)=51355665（26）解：略（27）解：（I）依题意，有S|2 = 12ai12 (12-1)213 (13-1)S13=13ai22a111d0,a1 6d : 0.：0由a3=12,得a1=12 -2d.(3)将（3）式分别代入（1）、（ 2）式，得”24+70,、3+d v0.24.o:、 -v d v 37(n)解一由 d0 可知a a? a3 a2 a30,an0,因此，若在1 M 12中存在自然数n,使得an则 S 就是 S,S2,S2中的最大值。

由于S|2= 6(&6a7) 0, S13= 13&7：0,即a6a70, a7: 0,由此得a6 -a?0因为a6- 0, a?: 0,故在 S,S2,S2中 S6的值最大解二 由 d0 可知a1a2a，a12 - a13.因此，若在1 “ 0| a16d : 0.a? 0解三Sn二n 31也卫d21二 n(12-2d) n(n - 1)d2d 1n (524d 2 2 d)2d 1 (5242)124 c-d：0,. n -丄(5-仝)2最小时,Sn最大2d241十 24、当d： -3 时,6(5) : 6.572 d104.正整数门=6 时门-丄(5-一)2最小，S6最大2d(28) 证一：设 A、B 的坐标分别为(X1,y1)和(X2,y2)因线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交，故平行于 y 轴，即 X1MX2又交点为P (X0, 0),故|PA|=|PB|，即(X1-X)2+y12= (X2-X)2+y22 A B 在椭圆上，.2.2 y2,2b221=b2X1=b.2b2ay22X2a将上式代入，得222(X2-xjx22、a b= (X2-X1)a2 X221MX2,可得 XXa -b2/ -awX1a，-aX2a,且 X1X2,二-2avX1+X2V2a,a2a2-X0 :AB 不证二：设 A B 的坐标分别为（xi,yi）和（X2,y2）因 P （x。

0）,在 AB 的垂直平分线上，以点 P 为圆心，|PA|=r 为半径的圆 P 过 A、B 两点，圆 P 的方程为（x-xo）2+y2=r2,与椭圆方程联立，消去 y 得22a2 2 2b2（x-xo） +-x =r -b ,2 ,2-x2 - 2x0 x x02 - r2 b2 =0a因 A、B 是椭圆与圆 P 的交点，故 xi, X2为方程的两根由韦达定理得xi X 22X0a - b因-awxiwa，-a x2a,且 xi X2,2a,故-2aV X1+X2:2a2a-ba -ba -b:Xa222 ,222x0V2a,a。