1989年全国统一高考数学试卷(理科).doc

1989 年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1． （3 分） （2000• 北京）如果 I={a，b，c，d，e}，M={a ，c ，d} ，N={b ，d，e}，其中 I 是全集，那么（C IM）∩（C IN）等于（　　）A．φ B．{d} C．{a，c} D．{b，e}2． （3 分）与函数 y=x 有相同图象的一个函数是（　　）A．B．C．y=alogax．其中 a＞0，a≠1D．y=logaax．其中 a＞0，a≠13． （3 分）如果圆锥的底面半径为 ，高为 2，那么它的侧面积是（　　）A．B．C．D．4． （3 分） 的值等于（　　）A． ﹣1B．C．D．5． （3 分）已知{an}是等比数列，如果 a1+a2+a3=18，a 2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么 Sn 的值等于（　　）A．8 B．16 C．32 D．486． （3 分）如果 的值等于（　　）A．B．C．D．7． （3 分） （2010• 宁波模拟）设复数 z 满足关系： z+| |=2+i，那么 z 等于（　　）A． ﹣ +iB． +iC． ﹣ ﹣iD． ﹣i8． （3 分）已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是（　　）A．4 B．3 C．2 D．59． （3 分）已知椭圆的极坐标方程是 ，那么它的短轴长是（　　）A．B．C．D．　10． （3 分）如果双曲线 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准线的距离是（　　）A．10 B．C．D．11． （3 分）已知 f（x）=8+2x﹣x 2，如果 g（x）=f （ 2﹣x2） ，那么 g（x） （　　）A．在区间（﹣1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数C．在区间（﹣2，0）上是增函数D．在区间（0，2）上是增函数12． （3 分）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有（　　）A．60 个 B．48 个 C．36 个 D．24 个二、填空题（共 6 小题，每小 4 分，满 24 分）13． （4 分）方程 的解集是 _________　14． （4 分） （2010• 焦作二模）不等式 |x2﹣3x|＞4 的解集是 　_________　．15． （4 分）函数 的反函数的定义域是　_________　．16． （4 分） （2010• 佛山模拟）若（ 1+x） 6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则 a1+a2+…+a6=　_________　．17． （4 分）已知 A 和 B 是两个命题，如果 A 是 B 的充分条件，那么 B 是 A 的　_________　条件18． （4 分）如图，已知圆柱的底面半径是 3，高是 4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线 AB 与轴 OO'之间的距离等于 _________　．　三、解答题（共 6 小题，满分 60 分）19． （8 分）证明： ．20． （10 分）如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD，∠A 1AB=∠A1AD= ．（Ⅰ）求证：顶点 A1 在底面 ABCD 的射影 O 在∠BAD 的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21． （10 分）自点 A（﹣3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0 相切，求光线 L 所在直线的方程．22． （12 分）已知 a＞0， a≠1，试求使方程 有解的 k 的取值范围．23． （10 分）是否存在常数 a，b，c 使得等式 1•22+2•32+…+n（n+1） 2= （an 2+bn+c）对于一切正整数 n 都成立？并证明你的结论．24． （10 分）设 f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞ ）上以 2 为周期的函数，对 k∈Z，用 Ik 表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当 x∈I0 时，f（x）=x 2．（1）求 f（x）在 Ik 上的解析表达式；（2）对自然数 k，求集合 Mk={a|使方程 f（x）=ax 在 Ik 上有两个不等的实根}1989 年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1． （3 分） （2000• 北京）如果 I={a，b，c，d，e}，M={a ，c ，d} ，N={b ，d，e}，其中 I 是全集，那么（C IM）∩（C IN）等于（　　）A．φ B．{d} C．{a，c} D．{b，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C IM）∩ （C IN）=C I（M ∪N）求解．解答： 解：C IM={b， e}，C IN={a，c}，∴（C IM）∩（C IN）=∅，故选 A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易．2． （3 分）与函数 y=x 有相同图象的一个函数是（　　）A．B．C．y=alogax．其中 a＞0，a≠1D．y=logaax．其中 a＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数 y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与 y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于 A，它的定义域为 R，但是它的解析式为 y=|x|与 y=x 不同，故错；对于 B，它的定义域为 x≠0，与 y=x 不同，故错；对于 C，它的定义域为 x＞0，与 y=x 不同，故错；对于 D，它的定义域为 R，解析式可化为 y=x 与 y=x 同，故正确；故选 D．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题．3． （3 分）如果圆锥的底面半径为 ，高为 2，那么它的侧面积是（　　）A．B．C．D．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题．分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可．解答： 解：圆锥的底面半径为 ，高为 2，母线长为： ，那么它的侧面积：故选 C．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4． （3 分） 的值等于（　　）　 A． ﹣1B．C．D．考点： 反三角函数的运用． 专题： 计算题．分析： 利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答： 解： ===﹣[cos（ arcsin ）cos （arccos ）+sin（arcsin ）sin （arccos ）]=﹣[ ]=﹣1故选 A．点评： 本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5． （3 分）已知{an}是等比数列，如果 a1+a2+a3=18，a 2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么 Sn 的值等于（　　）A．8 B．16 C．32 D．48考点： 极限及其运算；等比数列的前 n 项和；等比数列的性质． 专题： 计算题．分析： 由题意知 ，所以， Sn= ．解答： 解：∵a1+a1q+a1q2=18，a 1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴ ．∴ ，∴ Sn= ．故选 B．点评： 本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6． （3 分）如果 的值等于（　　）A．B．C．D．考点： 二倍角的余弦． 分析： 由题目中给出的角 θ 的范围，确定余弦值，用余弦表示 sin ，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答： 解：∵ ，∴ ，∵∴ 或 ，∵ ，∴ ，故选 C点评： 已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7． （3 分） （2010• 宁波模拟）设复数 z 满足关系： z+| |=2+i，那么 z 等于（　　）A． ﹣ +iB． +iC． ﹣ ﹣iD． ﹣i考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题；综合题．分析： 解法 1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法 2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法 3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数 z 的实部、虚部的符号即可．解答： 解：法 1：设 z=a+bi（a，b∈R）由已知 a+bi+ =2+i由复数相等可得 ∴ 故 z= +i故选 B．法 2：由已知可得 z=﹣| |+i ①取模后平方可得|z|2=（ 2﹣|z|） 2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以 ，代入①得 ，故选 B．法 3：选择支中的复数的模均为 ，又 ，而方程右边为 2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正，故选 B．点评： 本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8． （3 分）已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1，那么这个球的半径是（　　）A．4 B．3 C．2 D．5考点： 球面距离及相关计算． 专题： 计算题．分析： 画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答： 解：由题意画轴截面图，截面的面积为 5π，半径为 ，截面的面积为 8π 的圆的半径是 ，设球心到大截面圆的距离为 d，球的半径为 r，则 5+（d+1） 2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选 B．点评： 本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9． （3 分）已知椭圆的极坐标方程是 ，那么它的短轴长是（　　）A．B．C．D．考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．分析： 利用圆锥曲线统一的极坐标方程 ，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答： 解：将原极坐标方程为 ，化成：极坐标方程为 ρ=． ，对照圆锥曲线统一的极坐标方程 得：e= ，a=3，b= ，c=2．∴它的短轴长 2故选 C点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10． （3 分）如果双曲线 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点 P 到它的右准线的距离是（　　）A．10 B．C．D．考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点 P 到双曲线 右焦点的距离和点 P 到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点 P 到它的右准线的距离．解答： 解：设点 P 到它的右准线的距离是 x，∵ ，∴ ，解得 ．故点 P 到它的右准线的距离是 ．故选 D．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题．11． （3 分）已知 f（x）=8+2x﹣x 2，如果 g（x）=f （ 2﹣x2） ，那么 g（x） （　　）A．在区间（﹣1，0）上是减函数B．在区间（0，1）上是减函数C．在区间（﹣2，0）上是增函数D．在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题．分析： 先求出 g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答： 解：因为 f（x）=8+2x ﹣x2，则 g（x）=f（2﹣x 2）=8+2x 2﹣x4=﹣（x 2﹣1） 2+9，因为g′（x）=﹣ 4x3+4x，x∈（﹣1，0） ，g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选 A．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．12． （3 分）由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50000 的偶数共有（　　）　 A．60 个 B．48 个 C．36 个 D．24 个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题．分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是 5．可先安排个位，方法有 2 。