(整理)4定积分的性质..doc

精品文档4定积分的性质教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理教学方法：讲练结合一、定积分的基本性质 性质1 若上可积，为常数，则在上也可积，且 （1）证 当时结论显然成立当时，由于 其中，由上可积时，故任给，存在，当时时， ，从而 即上可积，且 性质2 若都在上可积，则在上也可积，且 （2）证明与性质1类同．性质l与性质2是定积分的线性性质，合起来即为 性质3 若都在上可积；则在上也可积．证 由都在上可积，从而都有界，设 且 (否则中至少有一个恒为零值函数，于是亦为零值函数，结论显然成立)． 任给，由可积，必分别存在分割、，使得 令 (表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割)．对于上所属的每一个，有 可知 这就证得在上可积. 注意，在一般情形下 性质4 在 上可积的充要条件是：任给，在与上都可积．此时又有等式 (3) 证 [充分性] 由于在与上都可积，故任给，分别存在对与的分割与，使得 现令，它是对的一个分割，且有 由此证得在上可积． [必要性] 已知在上可积，故任给，存在对的某分割，使得在上再增加一个分点，得到一个新的分割．又有 分割在和上的部分，分别是对和的分割，记为和，则有≤≤这就证得f在与上都可积． 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3)．为此对作分割T，恒使点c为其中的一个分点，这时T在与上的部分各自构成对与的分割，分别记为与T．由于 =，因此当(同时有)时，对上式取极限，就得到(3)式成立． 口 性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性．当时，(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性． 按定积分的定义，记号只有当时才有意义，而当或时本来是没有意义的．但为了运用上的方便，对它作如下规定： 规定l 当时，令． 规定2 当时，令有了这个规定之后，等式(3)对于的任何大小顺序都能成立．例如，当时，只要在上可积，则有 性质5 设为上的可积函数．若，则 推论(积分不等式性) 若与为上的两个可积函数，且，，则有 （5）性质6 若在上可积，则在上也可积，且（6） 证 由于在上可积，故任给，存在某分割，使得.由绝对值不等式 可得，于是有 从而证得在上可积． 再由不等式，应用性质5(推论)，即证得不等式（6）成立.注意 这个性质的逆命题一般不成立，例如 在上不可积（类似于狄利克雷函数）；但，它在上可积.例1 求，其中 解 对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即 注1 上述解法中取，其中被积函数在处的值已由原来的改为，由3习题第3题知道这一改动并不影响在上的可积性和定积分的值. 注2 如果要求直接在上使用牛顿—莱布尼次公式来计算这时应取怎样的函数？读者可对照2习题第3题来回答.例2 证明若在上连续，且.证 用反证法.倘若有某则由连续函数的局部保号性，存在的某领域（当或时，则为右邻域或左邻域），使在其中.由性质4和性质5推知 这与假设相矛盾.所以 注 从此例证明中看到，即使为一非负可积函数，只要它在某一点处连续，且，则必有．(至于可积函数必有连续点，这是一个较难证明的命题，读者可参阅6习题第7题．) 二 积分中值定理 定理9．7 (积分第一中值定理)若在上连续，则至少存在一点，使得 （7） 证 由于在上连续，因此存在最大值和最小值．由 使用积分不等式性质得到目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。

或 1）直接使用价值直接使用价值（DUV）是由环境资源对目前的生产或消费的直接贡献来决定的再由连续函数的介值性，至少存在一点，使得 （）1.筛选环境影响：环境影响被筛选为三大类，一类是被剔除、不再作任何评价分析的影响，如内部的、小的以及能被控抑的影响；另一类是需要作定性说明的影响，如那些大的但可能很不确定的影响；最后一类才是那些需要并且能够量化和货币化的影响这就证得(7)式成立． 积分第一中值定理几何意义为，若在上非负连续，则在上的曲边梯形面积等于以为高，为底的矩形面积．而 可理解为在区间上所有函数值的平均值．这是通常有限个数算术平均值的推广．环境的两个特点：例3 试求在上的平均值.目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得解 所求平均值为 定理9．8(推广的积分第一中值定理) 若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使得建设项目所处环境的敏感性质和敏感程度是确定建设项目环境影响评价类别的重要依据，环境影响评价文件应当就该项目对环境的影响做重点分析。

（8）1.建设项目环境影响评价机构的资质管理(当时，即为定理9．6．) 证 不妨设，．这时有 其中分别为在上的最大、最小值．由定积分的不等式性质，得到 若，，则由上式知，从而对任何，（8）式都成立.若，则得『正确答案』B .由连续函数的介值性，必至少有一点，使得第二节　安全预评价 便证得（8）式成立通过安全预评价形成的安全预评价报告，作为项目前期报批或备案的文件之一，在向政府安全管理部门提供的同时，也提供给建设单位、设计单位、业主，作为项目最终设计的重要依据文件之一注 事实上，定理9.7和定理9.8中的中值点必能在开区间内取得.作业:2(2),4,5精品文档。