李雅普诺夫稳定性理论.ppt

8.6 李雅普诺夫稳定性理论v经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据v非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)，描述函数法v俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，多变量，线性，非线性，定常，时变等系统主要内容：n李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值n李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0)一. 稳定性基本概念 A奇异： 有无穷多个 A非奇异： a.线性系统 系统的平衡状态3.平衡状态： 2.初态 =f(x,t)的解为 初态b.非线性系统 可能有多个 令例4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。

对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点二. 李雅普诺夫意义下的稳定欧几里德范数欧几里德范数 设设         是包含使是包含使                       的所有点的一个球域，而的所有点的一个球域，而是包含使是包含使                     的所有点的一个球域的所有点的一个球域  定义一定义一 若系统若系统对于任意选定的对于任意选定的，， 存在一个存在一个，使得当，使得当时，时，恒有恒有 ，则称系统的平衡状态是，则称系统的平衡状态是稳定的 定义二定义二 如果平衡状态如果平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的，在李雅普诺夫意义下是稳定的， 且最后都能收敛到且最后都能收敛到xe附近，即附近，即，，其中其中是任选的微量，则称系统的平衡状态是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是是 渐近稳定的渐近稳定的 定义四定义四 : :如果从球域如果从球域 出发的轨迹，无论球出发的轨迹，无论球域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域，则称平衡状态则称平衡状态x xe e为不稳定。

为不稳定 定定义义三三 对对所所有有的的状状态态( (状状态态空空间间的的所所有有点点) )，，如如果果由由这这些些状状态态出出发发的的轨轨迹迹都都具具有有渐渐近近稳稳定定性性，，则则称称平衡状态平衡状态x xe e为大范围渐近稳定为大范围渐近稳定 v线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)v非线性系统：稳定性与初始条件大小密切相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性 三. 李雅普诺夫第一法（间接法） 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部 李氏稳定的充要条件： 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性非线性函数在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：设非线性系统状态方程：2.非线性系统的稳定性分析：其中：--级数展开式中二阶以上各项之和n上式为向量函数的雅可比矩阵 令 则线性化系统方程为： 结论：1)若 ，则非线性系统在 处是渐近稳定的，与2) 无关。

2)若 3) 则不稳定3)若 ，稳定性与 有关， 4) 5) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性 四四. . 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法( (直接法直接法) ) 不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判不通过运动微分方程，也不通过特征值，就能直接判定系统的稳定性定系统的稳定性 这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过这种方法具有下述的物理背景：如果系统在运动过程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位程中能量不断减小，则系统最终将到达稳定平衡位置，系统应是稳定的置，系统应是稳定的 如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的如能找到系统的能量函数，只要能量函数对时间的导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的导数是负的，则系统的平衡状态就是渐近稳定的 1 1．标量函数的正定性与负定性．标量函数的正定性与负定性 设设 V(x) V(x)是向量是向量x x的标量函数的标量函数, ,在在x=0x=0处有处有V(0)=0 V(0)=0 (1)(1)正定正定 :V(x)>0 :V(x)>0 例如，例如， (2)(2)半正定半正定: :例如例如(3)(3)负定负定 :V(x)<0 :V(x)<0 例如，例如， (4)(4)半负定半负定: :例如例如 (5) (5)不定不定: : 如果不论如果不论 域取多么小，域取多么小，V(x)V(x)既可为正，既可为正，也可为负，则称这类标量函数为不定。

也可为负，则称这类标量函数为不定 ( (一一).).预备知识预备知识 2 2．二次型标量函数．二次型标量函数 式中，式中，P P为实对称矩阵，即有为实对称矩阵，即有 P P的符号性质定义如下的符号性质定义如下   (1) 若若V(x)正定正定,则称则称P为正定为正定,记作记作P>0(2)   若若V(x)负定负定,则称则称P为负定为负定,记作记作P<0(3)  若若V(x)半半正正定定(非非负负定定),则则称称P为为半半正正定定(非非负负定定),记作记作P≥0(4)(4)若若V(x)半负定半负定(非正定非正定),则称则称P为半负定为半负定(非正定非正定),记作记作P≤≤0 3.3.希尔维斯特希尔维斯特(Sylvester)(Sylvester)判据判据 ΔΔi  (i=1,2,……n)为实对称矩阵为实对称矩阵P P的各阶主子行列式的各阶主子行列式 矩阵矩阵P(P(或或V(x))V(x))定号性的充要条件是定号性的充要条件是: : (1) (1) 若若ΔΔi i >0 (i=1,2,…n), >0 (i=1,2,…n),则则P P为正定为正定; ; (2) 若若(3) 若若(4) 若若( (二二) )．李雅普诺夫稳定性定理．李雅普诺夫稳定性定理 定理一定理一  设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，，t)t)，，V(xV(x，，t)t)对向量对向量x x中中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，，t)t)为正定；为正定； 2) 2) 为负定为负定 则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。

则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的 如果随如果随 有有 ，则在原点处的平，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的衡状态是大范围渐近稳定的 说明：说明： 负定负定 能量随时间连续单调衰减能量随时间连续单调衰减例例 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为 解解 原点原点x=0x=0是给定系统的惟一平衡状态是给定系统的惟一平衡状态 试分析平衡状态的稳定性试分析平衡状态的稳定性 选取选取正定正定的标量函数的标量函数 负定负定 故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定为大范围渐近稳定又由于又由于时时 设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，，t)t)，，V(xV(x，，t)t)对向量对向量x x中中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，，t)t)为正定；为正定； 2) 2) 为半负定为半负定 则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

定理二定理二 3) 对任意对任意及任意及任意 在在时不恒为零时不恒为零 例例解解 原点原点x=0x=0是给定系统的惟一平衡状态是给定系统的惟一平衡状态 选取正定的标量函数选取正定的标量函数 当当为半负定为半负定进一步研究进一步研究, ,当当 时时 不恒为零不恒为零 故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定为大范围渐近稳定正定正定负定负定如选如选故给定系统在平衡状态故给定系统在平衡状态x=0为大范围渐近稳定为大范围渐近稳定又由于又由于时时 为负定不变，为负定不变，设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数如果存在一个标量函数V(xV(x，，t)t)，，V(xV(x，，t)t)对向量对向量x x中中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x1)V(x，，t)t)为正定；为正定； 2) 2) 为半负定为半负定, ,但在原点外的某一但在原点外的某一x x处恒为零，处恒为零， 则系统在原点处的平衡状态在则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫李雅普诺夫意义下是意义下是稳定的，但非渐近稳定。

系统保持在一个稳定的等稳定的，但非渐近稳定系统保持在一个稳定的等幅振荡状态幅振荡状态 定理三定理三例例故系统是李雅普诺夫意义下的稳定定理四定理四设系统的状态方程为设系统的状态方程为如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1) V(x,t)1) V(x,t)在原点的某一邻域内是正定的；在原点的某一邻域内是正定的； 2) 2) 在同样的邻域内也是正定的，在同样的邻域内也是正定的， 则原点处的平衡状态是不稳定的则原点处的平衡状态是不稳定的 例：例：给给定系定系统统（1） 求系统的平衡点；（2） 利用函数 判断稳定性； 解 令得（1）（2）在x1,x2平面的一、三象限内 而在同一区域内 所以系统不稳定 v推论1：当 正定， 半正定，且 在非零状态不恒为零时,则原点不稳定v推论2： 正定， 半正定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。

几点说明：1) 选取不唯一，但没有通用办法，2) 选取不当，会导致 不定的结果2) 这仅仅是充分条件3) 例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性解: 即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有 故 半正定 令 即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定推论1李雅普诺夫第二法的步骤：1)构造一个 二次型；2)求 ，并代入状态方程；3)判断 的定号性；4)判断非零情况下， 是否为零渐近稳定李雅普诺夫稳定不稳定n令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 渐进稳定 半负定n令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 不稳定 半正定4.4 4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 1 1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 定理一定理一 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称阵对于任意给定的一个正定对称阵Q Q，有惟一的正定，有惟一的正定对称阵对称阵P P使下式成立使下式成立 上式称为李雅普诺夫方程，而上式称为李雅普诺夫方程，而 是该系统的一是该系统的一个李雅普诺夫函数个李雅普诺夫函数 例例解解: : 选选Q=I，， 设设P正定，系统稳定正定，系统稳定a=[0 1;-1 -1];q=[1 0;0 1];p=lyap(a',q)dept=det(p)p = 1.5000 0.5000 0.5000 1.0000dept = 1.25002 2．线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析．线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析 设线性定常离散系统状态方程为设线性定常离散系统状态方程为 式中式中A A为常数非奇异矩阵，原点是平衡状态。

取正为常数非奇异矩阵，原点是平衡状态取正定二次型函数定二次型函数 只要只要 是负定的，则系统是渐近稳定的是负定的，则系统是渐近稳定的 希望希望 是负定的，就是希望是负定的，就是希望Q Q是正定的是正定的 令令定理二定理二系统系统    渐渐近近稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，，给给定定任任一一正正定定对对称称矩矩阵阵Q Q，，存存在在一一个个正正定定对对称称矩矩阵阵P P，使下式成立使下式成立 是系统的一个李雅普诺夫函数是系统的一个李雅普诺夫函数 。